Las matrices de Pauli son invariantes tensores de que la pareja de la izquierda y la mano derecha spinors. Estos spinors transformar en diferentes representaciones del grupo de Lorentz (como se mencionó) y por lo tanto son generalmente denotado con diferentes índices. Este es trivial ver en dos componentes de la notación, sin embargo, si usted no está familiarizado con esta notación esto también puede ser visto desde cuatro componentes de Lagrange:
$$
\bar{\psi} \gamma _\mu \psi = \left( \begin{array}{cc}\bar{ \psi} _R & \bar{\psi} _L \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
0 & \sigma ^\mu \\
\bar{\sigma} ^\mu & 0
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\psi _L \\
\psi _R
\end{array} \right) = \bar{\psi} _R \sigma ^\mu \psi _L + \bar{\psi} _L \bar{\sigma} ^\mu \psi _R
$$
Claramente un $ \sigma ^\mu $ campo se conecta un $ \psi _R $ $ \psi _L $ campo. Podemos escribir estas contracciones más explícitamente que denota el zurdo de la representación de los índices del griego de los índices y la mano derecha reprentation índices con puntos griego índices:
$$
\bar{\psi} _{I \, \dot{\alpha} } ( \sigma ^\mu ) ^{ \dot{\alpha} } _{ \,\,\alpha} \psi _L ^\alpha
$$
Nota: usted podría estar tentado a pensar de $\psi _R $ $\psi_L$ no como campos independientes, pero sólo los campos con los proyectores de actuar sobre ellos. Esto hace que todo este tema es muy confuso y los insto para que se sienta cómodo pensar en términos de dos componentes campos como la base fundamental de los objetos que componen fermiones.
