Respuesta corta
Se debe estar bien planteado para cualquier dominio de satisfacciones $0<R_{min} < R_{max}$$0 \le \theta_{min} < \theta_{max} \le \pi$.
Por desgracia, y probablemente debido a algún error, la respuesta parece depender de si se analiza este problema en 3D (suponiendo axisymmetry) o en 2D (en un avión de la constante $\phi$)....
Respuesta larga
De ser así planteado, el problema debe satisfacer la condición de consistencia (o "compatibilidad de restricción"), que se obtiene así:
Derivación de la Compatibilidad de Restricción para la general de la ecuación de Poisson con puramente Neumann condiciones de contorno:
Dada la PDE y sus condiciones de contorno:
\begin{align}
\nabla^2 \Phi \;=&\; f \qquad \text{in the domain %#%#%}\\
\left(\vec{\nabla} \Phi\right) \cdot \hat{n} \;=&\; g \qquad \text{on the domain boundary %#%#%}
\end{align}
- Empezamos por la integración de la primera ecuación en todo el dominio:
\begin{equation}
\int_{\Omega} \; \nabla^2 \Phi \; dV \;=\; \int_{\Omega} \; f \; dV
\end{equation}
- Luego podemos aplicar el teorema de la Divergencia:
\begin{align}
\int_{\Omega} \; \nabla^2 \Phi \; dV \;=&\; \int_{\Omega} \vec{\nabla}\cdot \left(\vec{\nabla} \Phi\right) dV \\
=&\;\int_{\partial\Omega} \left(\vec{\nabla} \Phi\right) \cdot \hat{n} \; dA
\end{align}
donde $\Omega$ es el vector unitario perpendicular hacia el exterior del dominio.
- Tenga en cuenta que nuestro límite de la ecuación nos dice $\partial\Omega$, y sustitución de la misma:
\begin{align}
\int_{\Omega} \; \nabla^2 \Phi \; dV \;=&\; \int_{\partial\Omega} \left(\vec{\nabla} \Phi\right) \cdot \hat{n} \; dA \\
=&\;\int_{\partial\Omega} g \;dA
\end{align}
- Las relaciones anteriores conducen a esto, la compatibilidad de restricción:
\begin{equation}
\int_{\partial\Omega} g \;dA \;=\; \int_{\Omega} \; f \; dV
\end{equation}
La interpretación física de esto es que la suma de las fuentes/sumideros de flujo en el interior de los saldos de la red de flujo a través de la frontera.
Cómo la Compatibilidad de Restricción se aplica a este problema:
\begin{align}
f \;=\; f(r,\theta) \;=&\; \frac{A}{8 \pi r^4} \csc\theta \left(1+3 \cos(2 \theta)\right) \\ \\
g \;=\; g(r,\theta) \;=&\;
\begin{cases}
g_A(r) = \vec{\nabla} \Phi \cdot \left(-\hat{\theta}\right) = -\frac{A \cos (\theta_{min})}{2 \pi r^3}, & \theta = \theta_{min} \\[2ex]
g_B(\theta) = \vec{\nabla} \Phi \cdot \left(+\hat{r}\right) = -\frac{A \sin (\theta)}{4 \pi R_{max}^3}, & r = R_{max} \\[2ex]
g_A(r) = \vec{\nabla} \Phi \cdot \left(+\hat{\theta}\right) = \frac{A \cos (\theta_{max})}{2 \pi r^3}, & \theta = \theta_{max} \\[2ex]
g_D(\theta) = \vec{\nabla} \Phi \cdot \left(-\hat{r}\right) = \frac{A \sin (\theta)}{4 \pi R_{min}^3}, & r = R_{min} \\[2ex]
\end{casos}
\end{align}
Dos dimensiones
El problema es simétrico, por lo que podría realizar las integrales en 3D, pero por el bien de la simplicidad, vamos a hacerlo en 2D. (Hice y obtuve el mismo resultado.)
La versión en 2D de la anterior restricción es:
\begin{equation}
\int_{\partial\Omega} g \;ds \;=\; \int_{\Omega} \; f \; dA
\end{equation}
Podemos calcular el 2D dominio integral de la $\hat{n}$:
\begin{align}
\int_{\Omega} f \;dA \;=&\; \int_{R_{min}}^{R_{max}} \int _{\theta_{min}}^{\theta_{max}} \; f(r,\theta)\; r \; dr \; d\theta\\
=&\; \dots \\
=&\; \frac{A \left(R_{max}^2 - R_{min}^2\right)}{8 \pi R_{max}^2 R_{min}^2} \left[ 3 \cos \theta_{max} - 3 \cos \theta_{min} + 2 \ln\left(\frac{\tan\left(\theta_{max}/2\right)}{\tan\left(\theta_{min}/2\right)}\right) \right]
\end{align}
Se puede también calcular la 1D límite de la integral de $\left(\vec{\nabla} \Phi\right) \cdot \hat{n} = g$ alrededor del borde rectangular:
\begin{align}
\int_{\partial\Omega} g \;dA \;=&\; \int_{R_{min}}^{R_{max}} g_A(r) \; dr + \int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}} g_B(\theta) R_{max} \; d\theta + \int_{R_{max}}^{R_{min}} g_C(r) \; dr + \int_{\theta_{max}}^{\theta_{min}} g_D(\theta) R_{min} \; d\theta\\
=&\; \dots \\
=&\; 0
\end{align}
La equiparación de los dos da:
\begin{equation}
3 \cos \theta_{max} - 3 \cos \theta_{min} + 2 \ln\left(\frac{\tan\left(\theta_{max}/2\right)}{\tan\left(\theta_{min}/2\right)}\right) = 0
\end{equation}
De esto se sigue que
\begin{equation}
\cos \theta_{min} - \cos \theta_{max} = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{\tan\left(\theta_{max}/2\right)}{\tan\left(\theta_{min}/2\right)}\right)
\end{equation}
Esto no tiene solución real, lo que implica que el problema no está bien planteado. Esto no es satisfactorio.
Tres dimensiones
Vamos a intentar esto en 3D, ya que el problema es simétrico. Esto no debería hacer una diferencia, pero merece la pena un tiro:
Podemos calcular el 3D dominio integral de la $f(r,\theta)$...
\begin{align}
\int_{\Omega} f \;dV \;=&\; \int_0^{2 \pi}\int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}} \int_{R_{min}}^{R_{max}} \; f(r,\theta)\; r^2 \sin\theta \; dr \; d\theta \; d\phi\\
=&\; \dots \\
=&\; \frac{A}{4} \left( \frac{R_{max}-R_{min}}{R_{max}R_{min}}\right) \big( \theta_{max}-\theta_{min} + 3 \cos\left(\theta_{max}\right) \sin\left(\theta_{max}\right) - 3 \cos\left(\theta_{min}\right) \sin\left(\theta_{min}\right)\big)
\end{align}
...Y la superficie 2D integral de $g(r,\theta)$:
\begin{align}
\int_{\partial\Omega} g \;dA \;=&\; \int_0^{2 \pi} \int_{R_{min}}^{R_{max}} r \sin\theta \; g_A(r) \; dr + \int_0^{2 \pi} \int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}} r^2 \sin\theta \; g_B(\theta) R_{max} \; d\theta + \int_0^{2 \pi} \int_{R_{max}}^{R_{min}} r \sin\theta \; g_C(r) \; dr + \int_0^{2 \pi} \int_{\theta_{max}}^{\theta_{min}} r^2 \sin\theta \; g_D(\theta) R_{min} \; d\theta\\
=&\; \dots \\
=&\; \frac{A}{4} \left( \frac{R_{max}-R_{min}}{R_{max}R_{min}}\right) \big( \theta_{max}-\theta_{min} + 3 \cos\left(\theta_{max}\right) \sin\left(\theta_{max}\right) - 3 \cos\left(\theta_{min}\right) \sin\left(\theta_{min}\right)\big)
\end{align}
Por inspección, podemos ver que la compatibilidad de las restricciones satisfecho. Por lo tanto, el 3D, el análisis de la compatibilidad de la restricción revela que el problema está bien planteado y tiene una única solución (hasta un addative constante) para cualquier $f(r,\theta)$.
Resumen
Desde el análisis 2D, la compatibilidad de restricción implica que no existe una física de la solución, así que el problema está mal planteado.
Desde el análisis 3D, (que es idéntica a la 2D, excepto para la integral sobre la $g(r,\theta)$), hay una infinidad de soluciones ($0 \le \theta_{min} < \theta_{max} \le \pi$) que satisfacen la restricción. Esto implica que el problema está bien planteado para cualquier ámbito físico.
Físicamente, este debe ser un bien plantea un problema. (Desde la publicación de esta pregunta, tengo otras razones para saber que esto es cierto.) Debo de haber cometido un error en mi análisis 2D con la integración de pesos o algo así. La razón por la 2D caso no es porque el elemento área de un plano de la constante de azimut es $phi$, mientras que el elemento de volumen para el 3D caso es $0 \le \theta_{min} < \theta_{max} \le \pi$. El $dA = r \; dr \; d\theta$ hace una gran diferencia para el$dV = r^2 \sin\theta \; dr \; d\theta \; d\phi$$\sin\theta$.
Aún así, rep a cualquiera que pueda encontrar el error en mi análisis de la 2D caso.
