Para el estándar de la distribución de Cauchy, hacer fraccional momentos existen? Si $Y \sim C(1,0)$, es posible evaluar $E(Y^{1/3})$?
Respuesta
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Vamos a aplicar la ley del inconsciente estadístico, por lo que queremos ser capaces de evaluar
$\int_{-a}^b \frac{x^k}{1+x^2} dx$
en el límite de $a,b$$\to\infty$.
Como se ha mencionado en los comentarios, para la mayoría de las fracciones de $k$ no hay problemas para el negativo $x$.
Vamos paso a un lado de esa cuestión, y sólo hablar de la convergencia de la derecha.
Considere entonces, la convergencia de
$I(b)=\int_0^b \frac{x^k}{1+x^2} dx\,$ $0<k<1$
Considerar en primer lugar la división en $\int_0^1$ $\int_1^b$ $b>1$
para $\int_0^1 \frac{x^k}{1+x^2} dx$ tenga en cuenta que cuando se $x$ $k$ tienen entre 0 y 1 y que $x^k\leq 1$, de modo que la integral es acotada.
Ahora tenga en cuenta que para $x>0$,$\frac{1}{(1+x^2)}<x^{-2}$, por lo que
$\int_1^b \frac{x^k}{1+x^2} dx<\int_1^b x^{k-2} dx = \left. \frac{x^{k-1}}{k-1}\right|_1^b = \frac{b^{k-1}-1}{k-1}=\frac{1-b^{k-1}}{1-k}$
que no hay nada más grande que $\frac{1}{1-k}$ (al$b>1$$0<k<1$, como aquí).
Así, en el límite de $b\to\infty$, la integral converge.
Como resultado, $\int_{-\infty}^\infty \frac{|x|^k}{1+x^2} dx$ converge, y así, cuando la $x^k$ es real, $\int_{-\infty}^\infty \frac{x^k}{1+x^2} dx$ convergerán para una respuesta real.
Específicamente, el $\frac{1}{3}$ momento de un estándar de Cauchy es, por tanto, 0 (como lo son todas las recíproca-de-impar positivo entero momentos), por la simetría.
Tenga en cuenta que de acuerdo a Wolfram alpha (yo no lo intenta integrar a mí mismo) $\int_{0}^\infty \frac{x^{1/3}}{1+x^2} dx=\frac{\pi}{\sqrt{3}}$.
