El real de la ecuación de un péndulo

Question

En la física nunca resolver la ecuación de $\ddot\theta = \sin(\theta)$. En cambio, se utiliza la aproximación de $\theta = \sin(\theta)$ para ángulos pequeños, y entonces fue fácil de resolver. No tuve la física desde hace un tiempo, pero yo estaba interesado por la ecuación original. He tratado de resolverlo con la serie, pero era muy feo y me dan rápidamente. Pero tal vez es bien conocido, así que me voy a hacer la pregunta aquí :

¿Cuáles son las soluciones a la ecuación de $\ddot\theta = \sin(\theta)$ ?

Answer 1

Un primer buen paso es multiplicar por $2\dot{\theta}$, para obtener

$$ \frac{d}{dt} \dot{\theta}^2=2\sin \theta \dot{\theta} $$

que puede ser integrado a

$$\dot{\theta}^2=-2\cos \theta+A,$$

donde $A$ es una constante. Así

$$\frac{d \theta}{ \sqrt{A-2\cos \theta}}= \pm dt $$

y una segunda integración da

$$F_A(\theta)=\pm(t-t_0) $$

donde $F_A$ es una primitiva de la función de $\frac{1}{\sqrt{A-2\cos \theta}}$ $t_0$ es otra constante.

EDIT: La solución dada anteriormente es implícito para $\theta(t)$. Mathematica da

$$\theta(t)= \pm 2 \text{am}\left(\frac{1}{2} \sqrt{\left(c_1-2\right) \left(t+c_2\right){}^2},-\frac{4}{c_1-2}\right) $$

donde am es la Jacobi Amplitud de la función.