Plazo por el término de integración de $\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n g(x)dx$

Question

Si $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ converge uniformemente a $f(x)$ a $[0,1]$ e $g(x)$ es cualquier función integrable. Podemos realizar plazo por el término de integración, en otras palabras, es la siguiente verdaderos $$\displaystyle\int_0^1f(x)g(x)dx=\displaystyle\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n g(x)dx=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_0^1x^n g(x)dx$$ No tengo la serie representación de $g(x)$. ¿Cuáles son las condiciones en las $f$ e $g$ que asegurarse de dicho término por el término de integración?

Answer 1

El resultado usual, en su caso, es la siguiente : si la serie $$\sum a_n \int_0^1 x^n |g(x)| \mathrm{dx}$$

converge, se puede deducir que $fg$ es integrable y que $$\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{dx} = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \int_0^1 x^n g(x) \mathrm{dx}$$

Answer 2

Asumiendo $f_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$ converge uniformemente a $f$, $f$ es una función continua (como un límite uniforme de funciones continuas) y $fg$ es integrable. Desde $\sup_{x}|f(x)-f_n(x)|= M_n \to 0$ como $n\to\infty$, tenemos $$ \left|\int_0^1 f_ng-\int_0^1 fg\right|\le \int_0^1 |f-f_n||g|\ \le \ M_n\int_0^1 |g|\a 0, $$ lo que implica que $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_ng =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n a_i \int_0^1 x^ig(x)\, dx\a \int_0^1 fg. $$ So we can integrate term by term. If we have some $h(x)\ge 0$ such that for every $n$, $|f_n(x)|\le h(x)$ for almost all $x$, $h(x)|g(x)|$ es integrable, entonces también podemos concluir $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_ng = \int_0^1 fg $$ por Lebesgue del teorema de convergencia dominada.