Infinita Suma sin el uso de $\sin\pi$

Question

Lo que es puramente algebraico forma de demostrar que $\pi-\frac{\pi^3}{3!}+\frac{\pi^5}{5!}-\dots=0$? Estoy seguro de que el primer paso es escribir $\pi=4-\frac43+\frac45-\dots$, pero no he sido lo suficientemente valiente como para completar el álgebra, ni creo que es factible. :(

Supongo que en general, ¿cuál es la expresión algebraica manera de probar que la serie de Taylor de $\sin x$ converge a la definición geométrica de $\sin x$?

Answer 1

No estoy seguro acerca de una "prueba de álgebra." Un poder directo de la serie sustitución de la utilización de la potencia de la serie para $\arctan$ darle:

$$\sin(4\arctan(x))=\frac{4x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{8x}{(1+x^2)^2}-\frac{4x}{1+x^2}=4\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(2n+1)x^{2n+1}$$

Que va a ser un desastre, pero no necesariamente imposible demostrar. Nota: la serie no converge al $x=1$, pero los argumentos se pueden hacer como $x\to 1-$.

La clave para la segunda parte es demostrar que $\exp(ix)=\cos x + i\sin x$ donde $\exp(z)=\sum_k z^k/k!$. Una manera de demostrar que esto es para mostrar que $f(x)=1+ix$ es "lo suficientemente cerca" a $\mathrm{cis}(x)=\cos x + i\sin x$ al $x$ es cerca de cero, por lo que el $\lim f(x/n)^n = \lim \mathrm{cis}(x/n)^n$. Pero usted puede probar que $\mathrm{cis}(x/n)^n=\mathrm{cis}(x)$ por inducción, y para mostrar que $\lim_{n\to\infty} f(x/n)^n = \exp(ix)$.

El "lo suficientemente cerca" parte de la prueba - que $\mathrm{cis}(x)=1+xi + o(x)$ - puede ser hecho geométricas.

He aquí una respuesta a otra pregunta que se refiere a cómo cerrar "lo suficientemente cerca" tiene que ser para conseguir este resultado.

Esquema de la geometría de la parte de la prueba

En primer lugar demostrar que $\sin x<x$ $x$ positivo, ya que $\sin x$ es la distancia más corta desde un punto de $(\cos x,\sin x)$ $x$- eje y $x$ es la distancia desde el mismo punto a lo largo del círculo.

A continuación, mostrar que $1-\cos x =\frac{\sin ^2 x}{1+\cos x}<\sin^2 x<x^2$.

El último paso es el más difícil - mostrando que la $x-\sin x$ es "lo suficientemente pequeño." Se requiere de un teorema sobre conjuntos convexos - el camino más corto entre dos puntos en la superficie de un conjunto convexo que nunca entra en el interior debe estar en su totalidad en ese conjunto convexo. Esto es algo intuitivo.

A partir de esa geométricas resultado, se puede demostrar que los $\tan x > x$, y que, por ende, $x-\sin x < \tan x - \sin x < \sin x\frac{1-\cos x}{\cos x} = o(x)$ al $x$ cerca de cero.

Más sobre el enfoque algebraico

El poder de la serie de enfoque va a ser brutal. Vamos a tratar el caso de $\sin 2\arctan x = \frac{2x}{1+x^2}=2\sum_{n} (-1)^n x^{2n+1}$.

Ahora, para $k$ impar, la contribución de $\arctan^k x$ para el coeficiente de $x^n$ $\sin 2\arctan x$ es en términos del conjunto de $P_{n,k}=\{(n_1,\dots,n_k)\mid n_i\text{ odd, } \sum n_i=n\}$. La contribución de $(n_1,\dots,n_k)$ $$\frac{(-1)^{(k-1)/2}4^k}{k!}\prod_i \frac{(-1)^{(n_i-1)/2}}{n_i} = \frac{(-1)^{(n-1)/2}4^k}{k!\prod n_i}$$

Básicamente, usted necesita que:

$$\sum_{n_1+\cdots + n_k=n} \frac{4^{k-1}}{k!n_1n_2\cdots n_k} = n$$

donde el $n$ es impar y la suma es sobre las particiones bajo la condición de que cada una de las $n_i$ es impar.

No está del todo claro cómo sumar estos es, incluso va a ser un número entero.

Es fácil comprobar para los pequeños $n$. $n=1$ es trivial. Para $n=3$, las particiones se $(3)$ $(1,1,1)$ da $\frac{1}{3}+\frac{4^2}{6}=3$. Para $n=5$, las particiones se $(5),(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3),(1,1,1,1,1)$ y tienes:

$$\frac{1}{5} + 3\cdot \frac{4^2}{3!\cdot 3} + \frac{4^4}{5!}=5$$

Un hecho interesante es que esto de la igualdad parece ser cierto para $n$, incluso, como bien (aún con la condición de que el $n_i$ son impares.) Me pregunto si existe una probabilidad de explicación para esto - de algún proceso para la elección de las particiones de $n$ en pares de enteros donde la probabilidad de contraer $(n_1,\dots,n_k)$$\frac{4^{k}}{n k!n_1\dots n_k}$.

Answer 2

Sugerencia:

A lo largo del círculo de la ecuación ( $x^2+y^2=1$ , la longitud del arco es (en el primer cuadrante)

$$\theta=\int_0^y\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\arcsin(y)$$ so that $de$ y es la definición geométrica de la sinusoidal.

Esta relación también se puede escribir como la ecuación diferencial

$$y'^2(\theta)+y^2(\theta)=1,$$

que por derivación da

$$2y''(\theta)y'(\theta)+2y'(\theta)y(\theta)=0,$$

o $$y''(\theta)=-y(\theta).$$

Con $y(0)=0$, esto nos lleva a la conocida Taylor de desarrollo.