¿Por qué puede ' allí es una función monótona con dominio $\mathbb{R}$y gama $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$?

Question

¿Por qué no puede haber una función creciente con dominio $\mathbb{R}$y gama $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$?

Edit: por gama me refiero a la imagen del dominio de la función, es decir, la función admite cada valor irracional.

Siento que debe haber un bijection entre cada toma los valores irracionales y el número de discontinuidades tiene, y que monótono funciones tienen discontinuidades a lo más contable muchos, así que esto sería una contradicción.

Pero no sé cómo mostrarlo.

Answer 1

La razón básica de que no hay monotonía de asignación de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ es la integridad de la orden lineal en $\mathbb{R}$.

Supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ es un aumento de la surjection. Deje $L=\{x\in\mathbb{R}:f(x)<0\}$; claramente $L$ está delimitado por encima (por ejemplo, por el número real $y$ tal que $f(y)=\sqrt2$), por lo $L$ tiene al menos un límite superior $u$. Ahora, ¿qué puede $f(u)$?

• Si $u\notin L$,$f(u)>0$, e $f(x)\ge f(u) > 0$ por cada $x\ge u$, lo $f[\mathbb{R}]\cap(0,f(u))=\varnothing$, e $f$ no es un surjection.

• Si $u\in L$,$f(u)<0$, pero $f(x)>0$ por cada $x>u$, lo $f[\mathbb{R}]\cap (f(u),0)=\varnothing$, y de nuevo $f$ no es un surjection.

En cualquier caso, tenemos una contradicción, por lo $f$ no puede ser un surjection.

Si $f$ fueron una disminución de surjection, $-f$ sería un aumento de la surjection, por lo que una disminución de la función de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$no puede ser un surjection.

Answer 2

Nótese en primer lugar que el OP es, probablemente, el uso de "rango" en el sentido de "imagen", no en el sentido de "codominio".

Le sugiero que use el Teorema de 28 de estas notas en las discontinuidades de débilmente monotonía de las funciones. Aquí es la idea básica (voy a suponer $f$ es levemente creciente.

Caso 1: La función es continua en todas partes. Luego de su imagen, $f(\mathbb{R})$ debe ser un intervalo, por el Teorema del Valor Intermedio, lo que sin duda no puede ser $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.

Caso 2: La función es discontinua en al menos un punto de $a \in \mathbb{R}$. Aquí es donde Teorema 28: entonces tendremos a $f(a^-) = \lim_{x \rightarrow a^-} f(x) < f(a)$ y la imagen no contiene valores en $(f(a^-),f(a))$ o $f(a) < f(a^+) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x)$ y la imagen no contiene valores en $(f(a),f(a^+))$. Pero cada intervalo abierto no vacío contiene los números irracionales.