Por si sirve de algo, creo que vale la pena la siguiente forma de pensar sobre por qué las operaciones de fila no cambian el espacio nulo:
Una observación importante que hay que hacer:
Se puede observar que la multiplicación de una matriz $A$ por un vector de columnas $\bf x$ equivale a tomar una combinación lineal de las columnas de $A$ . Los coeficientes de la combinación lineal particular son las coordenadas de $\bf x$ .
Por ejemplo: $$\tag{1} \underbrace{\left[ \matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13} \cr a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33} }\right]}_{A} \left[\matrix{x\cr y\cr z}\right] =\left[\matrix{x a_{11} +ya_{12}+ z a_{13} \cr x a_{21} +ya_{22}+ z a_{23} \cr x a_{31} +ya_{32}+ z a_{33}} \right] = x\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{11}}\cr\color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{darkblue}{a_{31}}}\right]}_{\bf a_1} +y\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{darkblue}{a_{32}}}\right]}_{\bf a_2} +z\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{darkblue}{ a_{33}}}\right]}_{\bf a_3} $$
Hay que hacer una segunda observación importante:
$\bf x$ está en el espacio nulo de $A$ si y sólo si $A{\bf x}=\bf0$ . Esto significa que la combinación lineal de las columnas de $A$ cuyo coeficientes son las coordenadas de ${\bf x}=\Bigl[{\textstyle{x\atop y}\atop\scriptstyle z }\Bigr]$ es el vector cero:
$$\tag{2} x\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{11}}\cr\color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{darkblue}{a_{31}}}\right]}_{\bf a_1} +y\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{darkblue}{a_{32}}}\right]}_{\bf a_2} +z\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{darkblue}{ a_{33}}}\right]}_{\bf a_3} =\bf0 $$
Ahora pasamos a las operaciones de fila:
Aquí hacemos nuestra tercera y última observación:
Si se realiza una operación de fila en $A$ entonces el correspondiente lado derecho lado derecho de $(1)$ se obtiene realizando la misma operación de fila a cada una de ${\bf a_1}$ , ${\bf a_2}$ y ${\bf a_3}$ .
De todo esto se deduce que la multiplicación de una fila de $A$ por un número distinto de cero no afecta al espacio nulo. Por ejemplo, si la fila 1 de $A$ se multiplicaran por 2, entonces el lado derecho de (1) sería: $$ x\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{2a_{11}}\cr\color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{darkblue}{a_{31}}}\right]}_{\bf a_1} +y\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{2a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{darkblue}{a_{32}}}\right]}_{\bf a_2} +z\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{2a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{darkblue}{ a_{33}}}\right]}_{\bf a_3} =\bf z $$ Si (2) se cumple, es fácil ver que ${\bf z}=\bf0$ .
Debería ser bastante obvio que el intercambio de dos filas de $A$ no afecta al espacio nulo. Por ejemplo, si las filas 1 y 3 de $A$ se intercambiaran, el lado derecho de (1) se convertiría en $$ x\left[\matrix{\color{darkblue}{ a_{31}}\cr \color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{maroon}{ a_{11}}}\right] +y\left[\matrix{\color{darkblue}{ a_{32}}\cr \color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{maroon}{ a_{12}}}\right] +z\left[\matrix{\color{darkblue}{ a_{33}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{maroon}{ a_{13}}}\right] =\bf z $$ Si (2) se cumple, entonces $\bf z$ sería $\bf 0$ .
Por último, si un múltiplo de una fila de $A$ se añadieron a otra fila de $A$ el espacio nulo no se modificaría. Por ejemplo, si dos veces la fila 1 de $A$ a la fila 2, entonces el lado derecho de $(1)$ se convertiría:
$$\tag{3} x\left[\matrix{\color{maroon}{ a_{11}}\cr \color{darkgreen}{ a_{21}}+2\color{maroon}{ a_{11}}\cr\color{darkblue} a_{31}}\right] +y\left[\matrix{\color{maroon}{ a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}+2 \color{maroon}{a_{12}}\cr\color{darkblue} a_{32}}\right] +z\left[\matrix{\color{maroon}{ a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}+2 \color{maroon}{a_{13}}\cr\color{darkblue} a_{33}}\right] =\bf z $$
Si $(2)$ se mantiene, entonces $\bf z=0$ . En particular, si se observa la segunda componente del lado izquierdo de $(3)$ : $$\eqalign{ x(\color{darkgreen}{a_{21}}+2\color{maroon}{a_{11}})+ y(\color{darkgreen}{a_{22}}+2\color{maroon}{a_{12}})+ z(\color{darkgreen}{a_{23}}+2\color{maroon}{a_{13}}) &= (x \color{darkgreen}{a_{21}}+ y \color{darkgreen}{a_{22}}+ z \color{darkgreen}{a_{23}} )\cr &\ \ \ \ \ \ \ +2( x\color{maroon}{a_{11}} + y\color{maroon}{a_{12}}+ z\color{maroon}{a_{13}} )\cr&=0+2\cdot0\cr&=0}. $$
