Álgebra lineal: Preservación del espacio nulo

Question

¿Qué significa cuando un libro dice que las operaciones de fila preservan el espacio nulo? ¿Y por qué debería ser cierto? He leído que las operaciones de fila equivalen a multiplicar un vector por la izquierda por una matriz elemental invertible. Y creo entender que el espacio nulo es el conjunto de todos los vectores de $u \in U$ que se asignan al vector cero en $V$ si $T:U\rightarrow V$ es lineal. Pero todavía no estoy seguro de lo que esto significa.

Answer 1

Significa que la realización de una operación de fila elemental en una matriz no cambia el espacio nulo de la matriz. Es decir, si $A$ es una matriz, y $E$ es una matriz elemental del tamaño adecuado, entonces la matriz $EA$ tiene el mismo espacio nulo que $A$ .

Para ver por qué esto es cierto, supongamos primero que $x$ está en el espacio nulo de $A$ . Esto significa que $Ax=\vec 0$ . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $E$ vemos que $(EA)x=E\vec 0 =\vec 0$ , lo que significa que $x$ también está en el espacio nulo de $EA$ . Supongamos ahora que $x$ está en el espacio nulo de $EA$ para que $(EA)x=\vec 0$ . Como has mencionado, $E$ es invertible, por lo que podemos multiplicar esta ecuación por $E^{-1}$ :

$$Ax=IAx=(E^{-1}E)Ax=E^{-1}(EA)x=E^{-1}\vec 0=\vec 0\;,$$

demostrando que $x$ está en el espacio nulo de $A$ . En otras palabras, un vector está en el espacio nulo de $EA$ si y sólo si está en el espacio nulo de $A$ y $EA$ y $A$ tienen el mismo espacio nulo.

Answer 2

Por si sirve de algo, creo que vale la pena la siguiente forma de pensar sobre por qué las operaciones de fila no cambian el espacio nulo:

Una observación importante que hay que hacer:

Se puede observar que la multiplicación de una matriz $A$ por un vector de columnas $\bf x$ equivale a tomar una combinación lineal de las columnas de $A$ . Los coeficientes de la combinación lineal particular son las coordenadas de $\bf x$ .

Por ejemplo: $$\tag{1} \underbrace{\left[ \matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13} \cr a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33} }\right]}_{A} \left[\matrix{x\cr y\cr z}\right] =\left[\matrix{x a_{11} +ya_{12}+ z a_{13} \cr x a_{21} +ya_{22}+ z a_{23} \cr x a_{31} +ya_{32}+ z a_{33}} \right] = x\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{11}}\cr\color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{darkblue}{a_{31}}}\right]}_{\bf a_1} +y\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{darkblue}{a_{32}}}\right]}_{\bf a_2} +z\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{darkblue}{ a_{33}}}\right]}_{\bf a_3}$$

Hay que hacer una segunda observación importante:

$\bf x$ está en el espacio nulo de $A$ si y sólo si $A{\bf x}=\bf0$ . Esto significa que la combinación lineal de las columnas de $A$ cuyo coeficientes son las coordenadas de ${\bf x}=\Bigl[{\textstyle{x\atop y}\atop\scriptstyle z }\Bigr]$ es el vector cero:

$$\tag{2} x\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{11}}\cr\color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{darkblue}{a_{31}}}\right]}_{\bf a_1} +y\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{darkblue}{a_{32}}}\right]}_{\bf a_2} +z\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{darkblue}{ a_{33}}}\right]}_{\bf a_3} =\bf0$$

Ahora pasamos a las operaciones de fila:

Aquí hacemos nuestra tercera y última observación:

Si se realiza una operación de fila en $A$ entonces el correspondiente lado derecho lado derecho de $(1)$ se obtiene realizando la misma operación de fila a cada una de ${\bf a_1}$ , ${\bf a_2}$ y ${\bf a_3}$ .

De todo esto se deduce que la multiplicación de una fila de $A$ por un número distinto de cero no afecta al espacio nulo. Por ejemplo, si la fila 1 de $A$ se multiplicaran por 2, entonces el lado derecho de (1) sería: $$x\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{2a_{11}}\cr\color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{darkblue}{a_{31}}}\right]}_{\bf a_1} +y\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{2a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{darkblue}{a_{32}}}\right]}_{\bf a_2} +z\underbrace{\left[\matrix{\color{maroon}{2a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{darkblue}{ a_{33}}}\right]}_{\bf a_3} =\bf z$$ Si (2) se cumple, es fácil ver que ${\bf z}=\bf0$ .

Debería ser bastante obvio que el intercambio de dos filas de $A$ no afecta al espacio nulo. Por ejemplo, si las filas 1 y 3 de $A$ se intercambiaran, el lado derecho de (1) se convertiría en $$x\left[\matrix{\color{darkblue}{ a_{31}}\cr \color{darkgreen}{ a_{21}}\cr \color{maroon}{ a_{11}}}\right] +y\left[\matrix{\color{darkblue}{ a_{32}}\cr \color{darkgreen}{ a_{22}}\cr \color{maroon}{ a_{12}}}\right] +z\left[\matrix{\color{darkblue}{ a_{33}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}\cr\color{maroon}{ a_{13}}}\right] =\bf z$$ Si (2) se cumple, entonces $\bf z$ sería $\bf 0$ .

Por último, si un múltiplo de una fila de $A$ se añadieron a otra fila de $A$ el espacio nulo no se modificaría. Por ejemplo, si dos veces la fila 1 de $A$ a la fila 2, entonces el lado derecho de $(1)$ se convertiría:

$$\tag{3} x\left[\matrix{\color{maroon}{ a_{11}}\cr \color{darkgreen}{ a_{21}}+2\color{maroon}{ a_{11}}\cr\color{darkblue} a_{31}}\right] +y\left[\matrix{\color{maroon}{ a_{12}}\cr\color{darkgreen}{ a_{22}}+2 \color{maroon}{a_{12}}\cr\color{darkblue} a_{32}}\right] +z\left[\matrix{\color{maroon}{ a_{13}}\cr\color{darkgreen}{ a_{23}}+2 \color{maroon}{a_{13}}\cr\color{darkblue} a_{33}}\right] =\bf z$$

Si $(2)$ se mantiene, entonces $\bf z=0$ . En particular, si se observa la segunda componente del lado izquierdo de $(3)$ : $$\eqalign{ x(\color{darkgreen}{a_{21}}+2\color{maroon}{a_{11}})+ y(\color{darkgreen}{a_{22}}+2\color{maroon}{a_{12}})+ z(\color{darkgreen}{a_{23}}+2\color{maroon}{a_{13}}) &= (x \color{darkgreen}{a_{21}}+ y \color{darkgreen}{a_{22}}+ z \color{darkgreen}{a_{23}} )\cr &\ \ \ \ \ \ \ +2( x\color{maroon}{a_{11}} + y\color{maroon}{a_{12}}+ z\color{maroon}{a_{13}} )\cr&=0+2\cdot0\cr&=0}.$$

Answer 3

La respuesta depende de las circunstancias: ¿cómo se modifica la resistencia? Se pueden modificar tanto la velocidad de deriva como el número de portadores de carga disponibles.

En un principio Modelo Drude para el transporte eléctrico de ambos, $n$ la densidad de portadores de carga y $\tau$ El tiempo entre colisiones determina la resistencia:

$$\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.$$ Aquí, $\mathbf{J}$ es la densidad de corriente y $\mathbf{E}$ el campo eléctrico aplicado. El término entre paréntesis caracteriza las propiedades del material, es decir, su resistencia.

Cambiando a un material diferente se puede influir en ambos, $n$ y $\tau$ Así que ambos casos son posibles.

Answer 4

Creo que la forma más natural de pensar en esto es notar que el núcleo de una matriz es también el complemento ortogonal del espacio-columna de su transposición. ( este es el teorema fundamental del álgebra lineal )

Así que cuando se hacen operaciones de fila en una matriz, esto es lo mismo que hacer combinaciones lineales de las columnas en su transposición. Esto no cambia el espacio global abarcado por esas columnas en la transposición, por lo que no cambia el núcleo de la matriz original.