Pregunta de probabilidad que implica conjuntos de cartas

Question

Tengo una baraja infinita construida con conjuntos de 10 cartas (en otras palabras, 10*n cartas). Los conjuntos son idénticos, por lo que un '2' es idéntico a otro '2'.

Un jugador saca 6 cartas. Si saca:

• un '1' Y un '2', o
• un '3' Y un '4', o
• un '5' Y un '6', o
• un '7' Y un '8', o
• un '9' Y un '10',

ganará. En otras palabras, hay 5 pares y si el jugador saca un par completo, obtendrá un punto.

¿Cuál es la probabilidad de que no gane ningún punto en absoluto?

Para expandir en el problema, si el jugador recibe un punto por cada par que completa en una mano, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga 1, 2 o incluso 3 puntos? (3 puntos siendo 6 cartas de 3 pares completos)

Según lo que sé de la Binomial de Newton, hay: $\binom{10}{6} = 210$ combinaciones de manos diferentes.

Para expandir aún más, ¿cómo cambian las probabilidades si la baraja fuente deja de ser infinita? Por ensayo y error puedo ver que si la baraja tiene solo 10 cartas, entonces el jugador tiene que sacar al menos 1 par completo.

Ejemplo: Por ejemplo, una mano de {1,1,3,5,5,9} no obtendrá puntos. Una mano de {1,1,2,3,4,5} obtendrá 2. Script: He creado un simple script en js para calcular aproximadamente las probabilidades de la baraja infinita para verificar si tu respuesta matemática va por buen camino. Todavía no he escrito un script que simule un número finito de cartas en una baraja. http://jsfiddle.net/ch3shirecat/xZ8s5/

Después de la respuesta de azimut: Una ligera explicación. Si la baraja tiene más de 10 cartas (10*n con n>1) entonces cualquier carta puede tener más de 1 otra carta como par. Por ejemplo, en una baraja de 30 habrá tres cartas '1' y tres cartas '2' con 9 posibles emparejamientos entre ellas (cada uno dando un punto). Por lo tanto, la mano de {1,2,1,2,1,2} es posible y dará 3 emparejamientos. ¿Tiene sentido? ¡Gracias!

Answer 1

Responderé la pregunta para la baraja infinita; el caso de una baraja finita parece bastante complicado.

Así que asumiré que sacamos $6$ cartas con probabilidad uniforme independiente sobre $\{1,\ldots,10\}$.

La probabilidad de sacar al menos un par se puede calcular utilizando inclusión-exclusión. La probabilidad de sacar un par en particular es

$$ p_1=\sum_{k=0}^2\binom2k(-1)^k\left(\frac{10-k}{10}\right)^6=\frac{99631}{500000}=0.199262\;. $$

La probabilidad de sacar dos pares particulares es

$$ p_2=\sum_{k=0}^4\binom4k(-1)^k\left(\frac{10-k}{10}\right)^6=\frac{579}{25000}=0.02316\;. $$

La probabilidad de sacar tres pares particulares es

$$ p_3=\frac{6!}{10^6}=\frac9{12500}=0.00072\;. $$

Por lo tanto, la probabilidad de no sacar ningún par es

$$ \sum_{k=0}^3\binom5k(-1)^kp_k=\frac{22809}{100000}=0.22809 $$

(con $p_0=1$, la probabilidad de no sacar ningún par en particular). La probabilidad de sacar exactamente un par es

$$ \binom51p_1-2\binom52p_2+3\binom53p_3=\frac{55471}{100000}=0.55471\;. $$

La probabilidad de sacar exactamente dos pares es

$$ \binom52p_2-3\binom53p_3=\frac{21}{100}=0.21\;, $$

donde el $3$ cuenta el número de formas de representar un triple de pares como la unión de dos pares.

La probabilidad de sacar tres pares es

$$ \binom53p_3=\frac9{1250}=0.0072\;. $$

Las cuatro probabilidades suman $1$, como deberían.

Answer 2

No estoy completamente seguro acerca de algunos detalles de la pregunta.

Así que voy a responder con una ligera modificación que espero cubra tu pregunta. Supongo que tu mazo tiene $2n$ cartas, consistiendo de $n$ pares. Tú sacas al azar $k$ cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente $s$ pares?

1) Empecemos con el número de posibilidades de no sacar ningún par. Para la primera carta, hay $2n$ posibilidades. Para la segunda, hay $2n - 2$ posibilidades (ya se fue una carta, y la segunda de su tipo está prohibida). Para la tercera carta, hay $2n - 4$ posibilidades, etc. Como el orden de las cartas no importa, tenemos que dividir el número resultante por las $k!$ posibles reordenamientos de las $k$ cartas sacadas. Así que el total de posibilidades es $$\frac{(2n)(2n - 2)(2n - 4)\ldots(2n - 2(k-1))}{k!} = \frac{2^k k!}{(n-k)!\cdot k!} = 2^k \binom{n}{k}.$$

2) Ahora ¿cuántas formas hay de sacar exactamente $s$ pares? Hay $\binom{n}{s}$ formas de seleccionar los $s$ pares. Quitando estos pares del mazo, quedan $k-2s$ cartas para sacar de $n-s$ pares de forma que no haya un par entre ellas. Como ya se ha visto, hay $2^{k-2s} \binom{n-s}{k-2s}$ formas para esto. Entonces, el número de posibilidades es $$2^{k-2s}\binom{n}{s}\binom{n-s}{k-2s}.$$

3) Para la probabilidad, tenemos que dividir esto por el número total $\binom{2n}{k}$ de manos posibles. Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente $s$ pares al sacar $k$ cartas de un mazo barajado que consiste de $n$ pares es $$2^{k-2s}\frac{\binom{n}{s}\binom{n-s}{k-2s}}{\binom{2n}{k}}.$$

Ejemplo: En tu caso inicial, $n = 5$ y $k = 6$.

La probabilidad de obtener $0$ pares es $0$ (como señalaste, siempre hay un par si sacas $6$ cartas de $5$ pares).

La probabilidad de exactamente $1$ par es $\frac{8}{21}\approx 38\%$, la probabilidad de exactamente $2$ pares es $\frac{4}{7}\approx 57\%$, y la probabilidad de exactamente $3$ pares es $\frac{1}{21}\approx 5\%$.