Estoy trabajando en un problema que pide para mostrar que $S^2 \vee S^4$ no es homotopy equivalente a puertas cerradas, $4$- colector. A mi sólo la comprensión de los colectores es de Hatcher capítulo sobre Cohomology (capítulo 3) para todos los colectores en cuestión son las condiciones generales del topológica de los colectores.
De lo que me dijeron, debería considerar la posibilidad de trabajar con $F_2$ y los coeficientes de uso de la dualidad de poincaré. Sin embargo, no veo qué hacer.
El punto clave es que la dualidad de Poincaré es dado por la limitación en contra de la clase fundamental.
Usted puede escribir la cohomology anillo de S2∨S4 (cuña suma de espacios), donde se debe tener claro que todos los productos son iguales a cero, y a la conclusión de que cuando la tapa de la clase fundamental en contra de un generador para el cohomology en el grado 2, obtendrá cero, que no es lo que pasaría bajo la dualidad de Poincaré...
Supongamos por contradicción que la dualidad de Poincaré tiene por $S^2 \vee S^4$. En particular, nos vamos a $\phi$ generar la segunda cohomology, $[M]$ ser la clase fundamental (generador de la parte superior de homología), y deje $\sigma$ ser un generador de segundo de homología.
Suponiendo que tiene la dualidad de Poincaré implica que $\phi \cap [M] = \sigma$ (estamos usando $F_2$ coeficientes).
Sin embargo, debido a que la fórmula general $(\alpha \cap \phi, \psi) = (\alpha, \phi \cup \psi)$ ( $(,)$ denota la vinculación ent homología y cohomology... ver el Hatcher documento más abajo), tenemos $1 = (\sigma, \phi) = ([M] \cap \phi, \phi) = ([M], \phi \cup \phi) = ([M], 0) = 0$, lo cual es una contradicción.
math.cornell.edu/~hatcher/EN/ATcapprod.pdf da una útil discusión
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