Probit: Stata log likelihood iteration 0

Question

Cuando se trabaja con modelos probit en stata la primera línea de la salida es (para una muestra de 583 con 3 variables):

Iteración 0: log de probabilidad = -400,01203

Si lo entiendo bien, la iteración 0 es la probabilidad logarítmica cuando el parámetro de mis 3 variables = 0.

La función de probabilidad logarítmica con la que estoy trabajando es

\begin{equation} \ln L(\boldsymbol{\alpha}, \beta|\boldsymbol{y,z,t}) = \sum\limits_{j=1}^T I_j ln[\Phi(\frac{\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{z_j}}{\sigma} - \frac{\beta t_j}\sigma)] + (1 - i_j) ln[1 - \Phi(\frac{\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{z_j}}{\sigma} - \frac{\beta t_j}\sigma)] \end{equation}

donde $T =$ número total de observaciones y $\boldsymbol{\alpha}$ y $\beta$ son mis parámetros

Supuse que al establecer mis parámetros de $\boldsymbol{\alpha}$ y $\beta$ a 0 sería lo mismo que poner mi $\Phi$ a 0 y, por lo tanto, el valor por observación a 0,5. Esto se multiplicaría entonces por mi número de observaciones, $\ T$ :

ln L["# de observaciones" * ln(0,5)]

Es decir, 583 * ln(0,5) = -404,1048

Sin embargo, como vemos, estaba equivocado. Supongo que esto tiene que ver con una constante que se estima para cada parámetro y que cambia ligeramente la probabilidad (aproximadamente al 50,35%). ¿De dónde sale esta constante? ¿Qué tipo de estimación se está haciendo con mis parámetros?

Answer 1

Al ejecutar el ejemplo siguiente, puede ver que la constante se basa en la media de la variable dependiente transformada a la métrica probit.

// get some example data
sysuse auto, clear

// estimate a probit model, use the trace
// option to see the estimates at each iteration
probit foreign price mpg, trace

// compute the mean on the estimation sample
sum foreign if e(sample)

// transform that mean to the probit metric
di invnormal(r(mean))

// compute the log likelihood
gen double ll = cond(foreign,         ///
                     ln(r(mean)),     /// ll for foreing cars
                     ln((1-r(mean)))) /// ll for domestic cars
                     if e(sample)

// compute the sum                   
sum ll, meanonly
di r(sum)