La desigualdad que involucra media aritmética: $\prod_{\text{cyc: } a,b,c,d} \frac{a+b}{2} \le \prod_{\text{cyc: } a,b,c,d} \frac{a+b+c}{3}$

Question

Deje $a\geq b \geq c\geq d \geq 0$ (ordenar). Probar que: $$\dfrac{a+b}{2}\dfrac{b+c}{2}\dfrac{c+d}{2}\dfrac{d+a}{2}\leq \dfrac{a+b+c}{3}\dfrac{b+c+d}{3}\dfrac{c+d+a}{3}\dfrac{d+a+b}{3}$$

Nota: si $a=b=c=d$, entonces el resultado es una consecuencia directa de la propiedad de la media aritmética.

Answer 1

Esto se conoce como el mongol de la desigualdad y la herramienta clave para demostrar que es Karamata la desigualdad.

Completa la prueba de (en ruso) se puede encontrar AQUÍ, en la página 220.