$\omega_1$ $C^*$- incrustado en $\omega_1+1$

Question

considerar el espacio $ω_1$ (el primero de los innumerables ordinal) y $ω_1+1$ junto con la orden de la topología. es cierto que

1. $ω_1$ $G_\delta$- subespacio denso de $ω_1+1$?
2. $\omega_1$ $C^*$- incrustado en $\omega_1+1$?

Si la propuesta es correcta, entonces llegamos a la conclusión de que $\omega_1$ $C$- incrustado en $\omega_1+1$.

gracias.

Answer 1

Cada continuas $f:\omega_1\to\Bbb R$ finalmente es constante, por lo $\omega_1$ es, de hecho, $C$- incrustado en $\omega_1+1$; usted encontrará una prueba de la primera declaración de aquí en Dan Ma de Topología del Blog.

1. Sí, esto es cierto, ya que cualquier $G_\delta$ $\omega_1+1$ que contiene el punto de $\omega_1$ contiene un intervalo de $(\alpha,\omega_1]$ algunos $\alpha<\omega_1$.

2. Esto también es cierto; de hecho, $\omega_1+1=\beta\omega_1$.