Demostrar $\sum_1^{\infty} a_i^2$ convergentes

Question

Deje$\{a_i\}$ ser una disminución de la secuencia de número positivo tal que$\sum_{j=1}^{\infty}\frac{a_j}{\sqrt{j}}$ es convergente.

Demostrar $\sum_1^{\infty} a_i^2$ es convergente.

Mi attemption es el uso de Abel prueba, claramente $\frac{a_j}{\sqrt{j}}$ es una disminución de la secuencia, y también a $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{a_j}{\sqrt{j}}$ es convergente, por lo $\{\frac{a_j}{\sqrt{j}}\}$ está ligado, con el fin de utilizar Abel prueba, sólo tenemos que demostrar $\sum \sqrt{j}a_i$ es convergente, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Usted sólo tiene que solicitar a $b_j=\frac{a_j}{\sqrt{j}}$ el resultado de que si $b_j$ es positiva y decreciente y si $\sum b_j$ converge, entonces $\lim\limits_{j \to \infty} jb_j = 0$. (Esto ha sido demostrado muchas veces en este sitio. Véase, por ejemplo, aquí.)

Desde $\frac{a_j}{\sqrt{j}}$ está disminuyendo (debido a $a_j$ es positivo, ya que la disminución de la) e $\sum \frac{a_j}{\sqrt{j}}$ converge debemos tener $\sqrt{j} a_j = j \frac{a_j}{\sqrt{j}} \to 0$ $j \to \infty.$

Tenga en cuenta que para suficientemente grande $j$, $\sqrt{j} a_j < 1$ y

$$a_j^2 = \sqrt{j}a_j \frac{a_j}{\sqrt{j}} \leqslant \frac{a_j}{\sqrt{j}}.$$

Por lo tanto, $\sum a_j^2$ debe converger por la prueba de comparación.