Sea un poliedro convexo $P$ que todas sus caras son congruentes. Consideremos una pirámide cualquiera formada por una cara de $P$ como su base y el centroide de $P$ como su vértice. Permitiendo que la congruencia admita la reflexión, ¿son todas las pirámides que comprenden $P$ ¿congruente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No todas estas pirámides son congruentes. Empezamos con un octaedro y lo partimos por la mitad por el eje bisectriz entre dos vértices opuestos; tomamos una de las mitades, la giramos 45 grados y la separamos de su pareja hasta que las distancias sean tales que la banda intermedia de triángulos sea equilátera. Es evidente que los triángulos que forman la banda central están más cerca del centroide que los triángulos que forman las tapas de los extremos, por lo que sus pirámides no pueden ser iguales.
Para explicitarlo: imaginemos una tapa de extremo formada por las coordenadas $(0, 0, 1+c)$ , $(\pm 1, 0, c)$ y $(0, \pm1, c)$ y el otro extremo (girado 45 grados) con las coordenadas de los vértices $(0, 0, -(1+c))$ y $(\pm\frac{\sqrt2}{2}, \pm\frac{\sqrt2}{2}, -c)$ . Entonces la distancia al cuadrado entre, por ejemplo $(1,0,c)$ y $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, -c)$ es $\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\frac{1}{2}+4c^2$ Si se establece como 2 (es decir, la longitud al cuadrado de las otras aristas de la forma) se obtiene $4c^2 = 1\!\frac{1}{2}-\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \sqrt{2}$ o $c=\dfrac{\sqrt[4]{2}}{2}$ . Por simetría, todas las demás aristas intermedias de la banda central tienen la misma longitud, por lo que todos los triángulos de la banda central son triángulos equiláteros.
Al parecer, este sólido se conoce como el bipirámide cuadrada giroscópica y es uno de los sólidos de Johnson. Wikipedia afirma que es convexo (que era la única duda que tenía sobre la construcción anterior), así que esto debería ser un contraejemplo limpio.
