Si $x>0$ es tal que $x^{n}+\frac{1}{x^n}$$x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}\in \mathbb{Q} \implies x+\frac{1}{x}\in\mathbb{Q}$?

Question

Deje $n \in \mathbb{N}$. Si $x>0$ es tal que $x^{n}+\frac{1}{x^n}$$x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}\in \mathbb{Q} \implies x+\frac{1}{x}\in\mathbb{Q}$?

Alguna idea sobre cómo resolver el problema anterior. De trabajo para $n=2$ dice que este resultado es cierto, pero no estoy seguro si se puede generalizar

Answer 1

La idea es escribir $x+\frac{1}{x}$ en términos de $x^n+\frac{1}{x^n}$ $x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}$ . Un domino de suma hace el trabajo aquí.

Poner $w_n=x^n+\frac{1}{x^n}$. Entonces, la identidad fundamental es

$$ w_{i}w_{j}=w_{i-j}+w_{i+j} \ (i,j\in{\mathbb Z}) \etiqueta{1} $$

Decir que un número $i$ es agradable al $w_i\in{\mathbb Q}$. Tenga en cuenta que $0$ es agradable desde $w_0=2$. Se deduce de (1) ($j=i$) que si $i$ es agradable, a continuación, $2i$ es agradable también. El uso de (1) nuevo (con $j=2i$) vemos que $3i$ es agradable también. De manera más general, por inducción tenemos que cualquier múltiplo de un buen número entero es agradable.

A continuación, veamos esas identidades : (todos ellos se sigue de (1))

$$ \begin{array}{lclclclcl} w_{n+1}w_{n} &=& w_1 &+& w_{2n+1} & & & & \\ w_{n+1}w_{3n} &=& & & w_{2n-1} &+& w_{4n+1} & & \\ w_{n+1}w_{5n} &=& & & & & w_{4n-1} &+& w_{6n+1} \\ \end{array}\etiqueta{2} $$

Si nos fijamos en los términos de la misma columna, la suma es múltiplo de $w_1$ : $w_{2n+1}+w_{2n-1}=w_1w_{2n}$, $w_{4n+1}+w_{4n-1}=w_1w_{4n}$ etc. Formalmente, tenemos por cualquier $r>0$,

$$ w_{n+1}\bigg(\sum_{j=1}^r w_{(2j-1)n}\bigg)= w_1+\sum_{j=1}^r w_1w_{2jn} +w_{2rn+1} \etiqueta{3} $$

Podemos reescribir esto como

$$ w_1=\frac{w_{n+1}\bigg(\sum_{j=1}^r w_{(2j-1)n}\bigg)-w_0-w_{2rn+1}}{\sum_{j=1}^r w_{2jn}} \etiqueta{4} $$

En el lado izquierdo de (4), todas las variables son números racionales, posiblemente con la excepción de $w_{2rn+1}$. Al $n$ es impar, para el adecuado $r$ (por ejemplo $r=\frac{n+1}{2}$), $2rn+1$ será divisible por $n+1$, lo $w_{2rn+1}$ es racional también, que termina la prueba (tenga en cuenta que el denominador es distinto de cero porque es positivo). La prueba es similar al $n$ es incluso.

Answer 2

Bueno, si $x^n\in\mathbb{Q}$,$\frac{1}{x^n}\in\mathbb{Q}$, así que podemos hacer la pregunta de si $x^n\in\mathbb{Q}$ todos los $m$ $n+m$ si $n$ $n+1$ es racional, y cualquier número racional a la potencia de un número natural es, de hecho, racional, y ningún número irracional puede ser escrito como tanto $\sqrt[2]{a/b}$$\sqrt[3]{a/b}$, (así, por ejemplo, $\sqrt{2}$ es racional si al cuadrado, pero no se si en cubos), así que sí, $x+\frac{1}{x}\in\mathbb{Q}$ si $x^n+\frac{1}{x^n}\in\mathbb{Q}$