Problema de tiovivo

Question

El problema de los sonidos como este:

Hay $n$ de los asientos en un carrusel go-round. Un chico toma $n$ olas. Entre cada viaje, él se mueve hacia la derecha, un cierto número de lugares para una caballo nuevo. Cada vez que se mueve un número diferente de lugares. Encontrar todos los $n$ para que el niño termina de montar cada caballo.

Así que si hay $n$ caballos, primero el niño puede moverse por un lugar, a continuación, podía moverse por $n + 1$ lugares, por $2n + 1$ y así sucesivamente, hasta que se mueva $(n-2)n + 1$ lugares, en cuyo caso había que habría sido montado cada caballo sólo una vez y tomado único número de pasos, lo que implica que todos los $n$'s de satisfacer la condición dada.

Hay algo que me estoy perdiendo?

Gracias por sus respuestas

Answer 1

No se puede hacer cuando$n$ es impar: el niño realiza$n-1$ movimientos de todas las longitudes$1$,$2$,$\ldots$,$n-1$ en una cierto orden. Esto lo adelanta en$$s:=\sum_{k=1}^{n-1}k={n-1\over2}\>n$ $ caballos en total. Como$s$ es divisible por$n$, esto implica que después de la última jugada (en su paseo$n^{\rm th}$) se sienta nuevamente en el caballo con el que comenzó.

Answer 2

Cristiano Blatter ha demostrado que no se puede hacer si $n$ es impar. Queda por demostrar que se puede hacer si $n$ es incluso.

Una forma de hacerlo es alternar los números impares $1,3,\dots,n-1$, en orden creciente con los números pares, $2,4,\dots,n-2$ en orden decreciente. El número de lugares a los que el niño va a mover cada vez está dada por la secuencia $$1,n-2,3,n-4,\dots,n-(n-2),n-1$$ Tenga en cuenta que este es el mismo como el movimiento de un lugar adelante, dos lugares hacia atrás, tres lugares hacia adelante, cuatro lugares hacia atrás, etc. Los caballos que el niño se ha utilizado siempre la forma de una cadena ininterrumpida (es decir, sin huecos), y el chico que siempre va a pasar de un extremo de la cadena en el otro extremo de la cadena, que se extiende la longitud de la cadena por un caballo.

Answer 3

Si hay$n$ lugares y el niño toma$n$ paseos, entonces sí, hay un número infinito de maneras en que ha cabalgado cada caballo al final.

Si observamos que$(u_k)_{k\in [1,n-1]}$ es una secuencia que representa el número de lugares que mueve cada turno, entonces hay un número infinito de tal secuencia que satisface que montó cada caballo. Tu secuencia$u_k = (k-1)n+1$ es una de ellas.