Orden entre funciones uno a uno y sus inversos.

Question

Deje $f,g :R \to R $ uno a uno las funciones que $f(x)< g(x), \forall x \in R $

Es cierto que $f^{-1}(x)>g^{-1}(x), \forall x \in R$??

Yo diría que sí, pensando en sus gráficas: si la gráfica de f está por debajo de la gráfica de g, cuando tomamos la simetría con respecto a la línea de $y=x$ la gráfica de $f^{-1}(x)$ estará por encima de la gráfica de $g^{-1}$. Pero yo estoy interesado en una rigurosamente formulado la prueba . Si es verdad...

Answer 1

No, si la gráfica de $g(x)$ está por encima de la gráfica de $f(x)$, entonces la gráfica de $g^{-1}(x)$ está a la derecha de la gráfica de $f^{-1}(x)$. Si estas funciones están aumentando, luego de estar a la derecha de otra función es la misma que está debajo de ella. Sin embargo, si están disminuyendo, luego de estar a la derecha de otra de las funciones es el mismo que está por encima de él.

Para un hormigón contraejemplo, tome $f(x)=-x$ e $g(x)=-x+1$. A continuación, $f^{-1}(x)=-x$ e $g^{-1}(x)=-x+1$, lo $g^{-1}(x)>f^{-1}(x)$ para todos los $x$.

Answer 2

A la derecha! Yo diría que como este: Deje $f^{-1}(x)=a, g^{-1}(x)=b$ Así que tenemos $x=f(a)=g(b)$

A continuación, a partir de la hipótesis de $g(b)>f(b)$ lo $f(a)>f(b)$

Y si suponemos que f es estrictamente creciente de ello se sigue que $a>b$ Por lo que es suficiente para añadir la condición de que $f$ va en aumento, $g$ no es necesario.