Epimorfismos conservados por el funtor de retroceso con el derecho adjunto

Question

Estoy trabajando a través de algunas notas, y estoy en una sección sobre localmente cartesiano categorías cerradas. Uno de los resultados es si $\mathcal{C}$ es local cartesiana cerrada y tiene coequalisers de reflexiva pares, entonces todos los morfismos tiene una factorización en un regular épica seguido por un monic.

La prueba parece depender de los siguientes:

Reclamo: Dejar que el pullback functor $f^*:\mathcal{C}/B\to \mathcal{C}/A$ (inducida por $f:A\to B$ en $\mathcal{C}$) tienen derecho adjuntos. A continuación, tirar de la épica a lo largo de $f$ conserva epicness.

No puedo entender por qué esto es cierto ya que una epopeya en $\mathcal{C}$ es simplemente un objeto de $\mathcal{C}/B$, no una flecha. Así que incluso si $f^*$ conserva colimits (de ahí las epopeyas), es la preservación de las epopeyas en $\mathcal{C}/B$, no $\mathcal{C}$. Si alguien me explicara como funciona esto, que sería muy útil.

Answer 1

Lo importante a destacar aquí es que una flecha $g: X \to B$ es un epimorphism si y sólo si la plaza $\require{AMScd}$ $$ \begin{CD} X @>g>> B\\ @VgVV @VV Id_B V\\ B @>>Id_B> B \end{CD} $$ es un pushout. En una rebanada de categoría, colimits se calculan igual que en la categoría subyacente (ver, por ejemplo, la proposición 3.4 en este nLab página de para el dual de la declaración). Eso significa que si $g$ es un epi en $\mathcal C$, luego el de arriba pushout también será un pushout en $\mathcal C / B$. A continuación, desde la retirada de functor $f^*: \mathcal C / B \to \mathcal C / A$ tiene un derecho adjoint, conserva colimits y por lo tanto, en particular, conserva pushouts. Por lo tanto, tenemos un pushout $$ \begin{CD} f^*(X) @>f^*(g)>> A\\ @V f^*(g) VV @VV Id_A V\\ A @>>Id_A> A \end{CD} $$ en $\mathcal{C} / A$, que por el mismo resultado que antes, significa que este es un pushout en $\mathcal C$. Entonces podemos concluir que $f^*(g)$ es de hecho un epimorphism en $\mathcal C$.

Edit: como se señaló en los comentarios de abajo, el último paso no es tan trivial como yo pensaba. El problema es que la segunda plaza no puede ser un pushout en $\mathcal C$. Hasta ahora sólo hemos demostrado que es un pushout en $\mathcal{C}/A$. A partir de ahí se puede concluir que $f^*(g)$ es un epimorphism en $\mathcal{C}/A$.

Una respuesta por parte de Max a esta pregunta muestra que cuando las $\mathcal{C}$ tiene productos, a continuación, un epimorphism en $\mathcal{C}/A$ es también un epimorphism en $\mathcal{C}$. Ver a la pequeña 'la proposición' (amarillo) hacia el final de su respuesta. Si o no $\mathcal{C}$ se supone que tiene productos parece ser más de un problema con la definición exacta de lo que se usa, como se desprende de los comentarios de esta respuesta.

Otra forma es tomar nota de que el olvidadizo functor $\mathcal{C} / A \to \mathcal{C}$ ha $(-) \times A: \mathcal{C} \to \mathcal{C} / A$ como derecho adjuntos. Así, en particular, el olvidadizo functor de preservar epimorphisms.

Answer 2

Como se ha mencionado en los comentarios para Marcar la respuesta, esta es una prueba de la reclamación en la pregunta con la suposición de que $C$ tiene productos y pullbacks (y no supuestos de (local) cartesiano closedness). No sé si eso ayuda, porque como ellos están de pie a la hipótesis de la pregunta no (parece que - al menos para mí - EDIT : al parecer Balaji Krishna asume que los productos en su definición de local cartesiano closedness, por lo que en este caso es suficiente) implica la existencia de productos.

Así que vamos a $f:A\to B$ ser tal que $f^* : C/B\to C/A$ tiene un derecho adjuntos, en particular, conserva pushouts y por lo tanto epis (epis en $C/B$, por supuesto)

Ahora vamos a $g:D\to B$ ser un epi, queremos mostrar que $f^*g : D\to A$ es epi en $C$. Para evitar confusiones, voy a escribir objetos de la coma categorías como parejas.

Tenga en cuenta que $g$ también puede ser visto como un morfismos $(D,g)\to (B,id_B)$, y obviamente esto morfismos es epi en $C/B$. Por lo tanto, la aplicación de $f^*$ a es todavía epi. Ahora se puede comprobar que $f^*$ de los morfismos $g$ es en realidad todavía $f^*g$ (por la sencilla razón de que $f^*(B,id_B) = (A,id_A)$ y que $f^*$(morfismos $g$) es una de morfismos de $f^*(D,g)$ a $f^*(B,id_B)=(A,id_A)$.

Por lo tanto, $f^*g$ es epi en $C/A$, cuando es visto como una de morfismos a $(A,id_A)$. Ahora estamos reducidos a la siguiente afirmación :

Deje $C$ ser una categoría con productos, y asumir la $k : (D,g) \to (E,h)$ es epi en $C/A$. A continuación, $k:D\to E$ es epi.

(Soy demasiado perezoso para dibujar los diagramas de aquí, pero es mucho mejor si lo haces)

Prueba : Supongamos $l_1,l_2 : E\to T$ ser flechas en $C$ tal que $l_1\circ k = l_2\circ k$; y considerar el objeto de $(T\times E, h\circ \pi_E)$ de $C/A$. Entonces tenemos, por $i\in\{1,2\}$, un mapa de $\tilde{l_i} : (E,h)\to (T\times E, h\circ \pi_E)$ : $T$ es $l_i$ y en $E$ es $id_E$. Es muy fácil ver que es un mapa de $C/A$, además de ser uno fácilmente se comprueba que $\tilde{l_1}\circ k = \tilde{l_2}\circ k$, por lo que por epi-nidad de $k$ en $C/A$, $\tilde{l_1}=\tilde{l_2}$.

Ahora mira a la $T$ coordinar, consigue $l_1=l_2$, lo $k$ es epi en $C$.

De ello se desprende que $f^*g$ es epi en $C$ y hemos terminado.