¿Qué tan razonable es el supuesto de linealidad en el análisis de regresión?

Question

Como alguien que se trasladó desde la física a la economía, hay algunas cosas acerca de los análisis de regresión que siempre me molestó. Uno de los la mayoría de los supuestos básicos de la econometría es que para estudiar el efecto de una variable independiente $x$ de la variable dependiente $y$, podemos partir de la siguiente relación lineal entre ellos: $$y = \alpha + \beta x + e$$ Donde $e$ es un término de error. Los coeficientes de $\alpha$ e $\beta$ se calcula la minimización de los errores mínimos cuadrados.

Desde una perspectiva puramente matemático, lo razonable es esta suposición? Si usted tiene alguna función $y=f(x)$, si el dominio de $f$ está restringido a un pequeño número de valores reales (como normalmente es en la economía), cuando está bien asumir la linealidad?

También, es la naturaleza de las variables en la economía una de las razones para esto? Me refiero a que es más adecuado para asumir la linealidad cuando se dice $y$ es el salario y $x$ es de años de educación que en el modelo de un sistema físico?

Answer 1

En primer lugar, la econometría no asume que las relaciones de $x$ e $y$ en la economía son lineales [en general]. Más bien, se dice que si una relación es lineal, entonces usted puede utilizar MCO para estimar estos efectos. Por otra parte, OLS es el estimador más eficiente en este caso, como usted sin duda han aprendido en la econometría.

Segundo, justo lo suficiente, si se mira la economía aplicada a la literatura, a continuación, los investigadores a menudo no se molestan en discutir si la linealidad de la hipótesis es plausible en su caso. Y muy a menudo no va a ser. Aún así, a veces la suposición de linealidad es inocua. Por ejemplo, si todos los su $x$ son variables ficticias que denota el grupo de pertenencia, entonces usted acaba de estimación condicional grupo de medios. O si la relación es cuadrática, entonces usted puede incluir los términos de orden superior en la regresión por MCO y todo está bien, de hecho o de cualquier otro polinomio de orden superior.

Más en general, me gusta ver OLS no como un modelo lineal, sino que asume aditivo de divisibilidad. Debido a $y=\alpha+\beta \log(x_1)+\gamma x_2+\epsilon$ todavía puede ser estimado con OLS aunque es claramente no lineal en $x_1$. Y OLS es muy a menudo utilizado para la estimación de tales relaciones no lineales (por ejemplo, los registros a la hora de estimar las elasticidades).

En tercer lugar, si usted está buscando en una relación en la que usted cree que el aditivo separabilidad no es plausible, entonces hay otras herramientas y usted debe utilizar. Por ejemplo no lineal de mínimos cuadrados. O, si la variable dependiente es binaria (cero-uno), luego se aplican los economistas tienden a utilizar el no lineal de regresión logit más de OLS.

Cuarto, hay un enfoque diferente en la economía llamada "estimación estructural". Este es probablemente más cerca de lo que estamos acostumbrados de la física. La idea aquí es que usted escriba una teoría económica del modelo y, a continuación, estimar los parámetros de este modelo empíricamente. Esto es muy popular en el campo de la organización industrial. La relación de dos variables económicas tales modelos estructurales será lineal sólo si son también lineales en el modelo económico basado en el supuesto de funciones de utilidad, distribuciones de error, etc.

En general, estoy de acuerdo en que los economistas tienden a utilizar OLS mucho, y a veces en los casos donde no debe. La principal razón es, probablemente, el adoctrinamiento: OLS está cubierto en la escuela de posgrado, mientras que de regresión de Poisson o de otros modelos no lineales no son. Otra razón es que la OPERACIÓN es muy simple de interpretar. A veces, los economistas son conscientes de que una relación no es lineal, sino que la estimación de un modelo lineal de todos modos porque la resultante aproximación es más fácil de interpretar ("Si aumenta el $x_1$ 1, entonces su $y$ disminuye en 0,3 en promedio!").

Answer 2

Adicional a los puntos existentes en la respuesta, tenga en cuenta que cualquier modelo de la forma $y=\sum_i \alpha_i f_i(x)+e$ es susceptible a estas técnicas, incluso si el $f_i$ son complicadas, incluso si $x$ es multivariado, e incluso si la variable que llamamos $y$ se obtiene mediante la transformación de algo en otra cosa. Por ejemplo, tomando logaritmos hace que las leyes de poder susceptible de esta técnica.

Las leyes de poder son el foco principal de el resto de mi respuesta. Cálculo a menudo legitima la linealización en un "pequeño" de la gama de valores para las variables. Pero esto es especialmente factible para (exacto o aproximado) leyes de energía, desde entonces, el trazan las variables pueden ser elegidos como los logaritmos de las cosas que hemos empezado. Eso es lo que sucede, por ejemplo, en la física estelar.

El uso de una vertical de registro eje es parte de por qué las leyes de poder en la economía y la econometría son a veces (por ejemplo, aquí) se describe en términos de la proporción de los cambios porcentuales en las variables de; $y\propto x^n\implies\frac{dy}{y}=n\frac{dx}{x}$. (La ley de Okun es un poco diferente en la que es más de un $\frac{dy}{y}\propto dx$ resultado).

Las leyes de poder a menudo son teóricamente motivado por análisis dimensional, y en algunos casos la teoría incluso predice un exponente. Incluso si ni en economía ni en econometría encontrado razones para tomar esto en serio (pero lo hacen!), no son únicamente linealidad-suponiendo que los campos, ya sea para bien o para mal. Apenas alrededor de cualquier campo con datos suficientes para tratar de regresión, con gran frecuencia, a la derecha de la regresión lineal por razones tales como explican aquí (es decir, aquí en esta página, no sólo en mi propia respuesta).