Demostrar que $\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac x{n^2+x^2}$ existe y es positivo

Question

Mostrar que $$\sum_{n=1}^\infty{1\over x ^2+n^2} \sim \frac1x$$ como $x\to \infty.$

Basta con demostrar que $\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac x{n^2+x^2}$ existe y es positivo

$$=\lim_{x\to\infty}\lim_{k\to\infty}{x\over x^2}\sum_{n=1}^{kx}{1\over 1+(n/x)^2}$$ $$=\lim_{k\to\infty}\lim_{x\to\infty}{1\over x}\sum_{n=1}^{kx}{1\over 1+(n/x)^2}$$ $$=\lim_{k\to\infty}\int_0^k{1\over1+n^2}dn$$ $$=\int_0^\infty{1\over1+n^2}dn=\pi/2$$

Según Desmos, mis cálculos son correctos pero me preocupa el rigor de la prueba. ¿Cómo justifico mis intercambios de límites y la conversión a la suma de Riemann

Answer 1

Dejemos que $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{x^2+n^2}.$ Tenga en cuenta que para un $x,$ $\dfrac{1}{x^2+t^2}$ está disminuyendo en $t.$ Por lo tanto,

$$\int_2^\infty \frac{dt}{x^2+t^2} \le S(x) \le \int_1^\infty \frac{dt}{x^2+t^2}.$$

Esto da

$$\frac{1}{x}(\pi/2-\arctan(2/x))\le S(x) \le \frac{1}{x}(\pi/2-\arctan(1/x)).$$

Su resultado es el siguiente.