Demostrando la definición de$df$: ¿Cómo colocar el límite dentro del argumento de$\psi \circ f \circ \phi^{-1}$?

Question

En el libro de Chillingworth, el autor define el espacio de la tangente de un punto de $p$ en el buen colector $M$ como el conjunto de todas las clases conjugacy de vías lisas con $\alpha (o) = p$ s.t $\alpha \sim \beta$ fib $$\lim_{t\to 0} \frac{\phi \circ \alpha(t) - \phi \circ \beta (t)}{t } = 0,$$ donde $\phi$ es un gráfico de coordenadas local en torno a $p\in M$.

Ahora, dado un suave mapa de $f : M \to N$, estoy tratando de mostrar que $df: T_p M \to T_{f(p)} N$ dado por $[\alpha] \mapsto [f\circ \alpha]$ es un bien definida por el mapa.

Sin embargo, para mostrar que, necesito mostrar que $$\lim_{t\to 0} \frac{\psi \circ f \circ \alpha(t) - \psi \circ f \circ \beta (t)}{t } = 0,$$ donde $\psi$ es un gráfico de coordenadas local en torno a $f(p)$ e $[\alpha] = [\beta]$.

En $\mathbb{R}^n$, estoy consciente de esta propiedad, pero incluso si puedo modificar el límite de $$\lim_{t\to 0} \frac{\psi \circ f \circ \phi^{-1} \circ [\phi \circ \alpha(t) - \phi \circ \beta (t)]}{t } = 0,$$ cómo poner el factor de $t$ en el denominador dentro del argumento de $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ ?

Answer 1

$\psi\circ f\circ \phi$ es diferenciable en a$\phi(p)$ así que usted tiene que

$$\lim_{t\to 0} \frac{\psi \circ f \circ \alpha(t) - \psi \circ f \circ \beta (t)}{t } $$

$$= \lim_{t\to 0}\frac{\psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \alpha(t))-\psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \beta(t))}{t}$$

$$=\lim_{t\to 0}\frac{\psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \alpha(t))- \psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \alpha(0)) + \psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \alpha(0)) - \psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \beta(t))}{t}$$

$$=\lim_{t\to 0}\frac{\psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \alpha(t))- \psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \alpha(0)) + \psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \beta(0)) - \psi\circ f\circ \phi^{-1}( \phi\circ \beta(t))}{t}$$

$$=\frac{d}{dt}_{t=0}(\psi\circ f\circ \phi^{-1}\circ \phi\circ \alpha) (t)- \frac{d}{dt}_{t=0}(\psi\circ f\circ \phi^{-1}\circ \phi\circ \beta) (t) $$

$$=J(\psi\circ f\circ \phi^{-1})(\phi(p)) \frac{d}{dt}_{t=0}(\phi\circ \alpha)(0)-J(\psi\circ f\circ \phi^{-1})(\phi(p)) \frac{d}{dt}_{t=0}(\phi\circ \beta)(0)$$

pero por nuestra hipótesis

$$\frac{d}{dt}_{t=0}(\phi\circ \alpha)(0)= \frac{d}{dt}_{t=0}(\phi\circ \beta)(0)$$

así que usted tiene que

$$\lim_{t\to 0} \frac{\psi \circ f \circ \alpha(t) - \psi \circ f \circ \beta (t)}{t } =0$$