Esto es algo que normalmente se hace en QFT y eso me molesta mucho porque parece ser hecho sin mucho cuidado.
En QFT a la hora de clasificar los campos de uno se busca la irreductible representaciones de la correcta orthochronous grupo de Lorentz $SO_e^+(1,3)$.
Pero para ello lo que se hace en la práctica es: buscar representaciones de la Mentira álgebra $\mathfrak{so}(1,3)$ y, a continuación, exponentiate.
Por ejemplo, en Peskin del QFT libro:
Es cierto que uno puede encontrar la matriz de representaciones de un grupo continuo por encontrar la matriz de representaciones de los generadores del grupo, entonces exponentiating estas transformaciones infinitesimales.
La misma cosa se hace en un sinnúmero de otros libros.
Ahora, estoy de acuerdo que si tenemos una representación de $G$ podemos obtener una de las $\mathfrak{g}$ en la diferenciación de la identidad. Aquí uno está haciendo al revés!
En la práctica lo que está haciendo es: encontrar una representación de $\mathfrak{so}(1,3)$ sobre un espacio vectorial $V$, luego exponentiate para obtener una representación de $SO_e^+(1,3)$. Creo que una forma de escribir sería como sigue, vamos a $D : \mathfrak{so}(1,3)\to \operatorname{End}(V)$ ser la representación de los álgebra, definir $\mathscr{D} : SO_e^+(1,3)\to GL(V)$
$$\mathscr{D}(\exp \theta X)=\exp \theta D(X).$$
Ahora, esto parece ser muy sutil.
En general, la exponencial $\exp : \mathfrak{g}\to G$ no es surjective. Incluso si lo es, creo que no tiene que ser inyectiva.
También he oído que hay una muy importante y muy sutil conexión entre $\exp(\mathfrak{g})$ y la cobertura universal de $G$.
Mi pregunta aquí es: ¿cómo entender este procedimiento, los Físicos hacen de forma más rigurosa? En general este proceso de "llegar representaciones de $G$ fuera de las representaciones de la $\mathfrak{g}$ por la exponenciación" se puede hacer, o que en realidad sólo le da a las representaciones de $\exp(\mathfrak{g})?
O en el final de los físicos que se permite hacer esto simplemente porque muy luckilly en este caso $\exp$ es surjective en $SO_e^+(1,3)$?
Edit: yo creo que lo tengo, así que voy a publicar un resumen de lo que he entendido para confirmar que:
Deje $G$ ser una Mentira grupo. Todas las representaciones de $G$ dar lugar a representaciones de $\mathfrak{g}$ por la diferenciación. No todas las representaciones de $\mathfrak{g}$ provienen de derivados como este, sin embargo. Estas representaciones de la $\mathfrak{g}$ provienen de los derivados de las representaciones de la universalización de la cobertura de $G$, sin embargo. Luego, cuando $G$ es simplemente conectado, todas las representaciones de $\mathfrak{g}$ , de hecho, vienen de $G$ como los derivados.
Ahora, si sabemos que las representaciones de $\mathfrak{g}$ se puede determinar por la exponenciación de las representaciones de la universalización de la cobertura $\tilde{G}$ de $G$ a partir de la cual se derivan por la exponenciación. Esto determina en un neigbhorhood de la identidad.
Para las representaciones de $\mathfrak{g}$ que, de hecho, vienen de $G$si $G$ está conectado, a continuación, un neigbhorhood de la identidad genera, de modo que esto es suficiente para reconstruir la representación en todas partes.
Sin embargo, en el caso particular de $SO_e^+(1,3)$ lo que ocurre es que este barrio de la identidad reconstruida por la exponencial es la de todo el grupo. Finalmente, las representaciones de $\mathfrak{so}(1,3)$ que no provienen de $SO_e^+(1,3)$ provienen de la universalización de la cobertura $SL_2(\mathbb{C})$.
Es este el punto entero?
