Evaluación $\int_a^b \arccos\left(x\,/\sqrt{(a+b)x-ab\,}\,\right)\,\mathrm {d}x$suponiendo que $0<a<b$

Question

He estado tratando de resolver la siguiente integral por un poco de tiempo ahora

$$I = \int_a^b \arccos\left( \frac{x}{\sqrt{(a+b)x - ab \,}\,}\right)\mathrm{d}x \quad 0<a<b$$

Después de hacer algunas pruebas en madera de arce, que fue capaz de descubrir que $\displaystyle I=\frac{\pi}{4}\frac{(a-b)^2}{b+a} $

Pero quiero mostrar esta manera algebraica. (el uso de las matemáticas)

He hecho un poco de esfuerzo y se puede notar que el denominador es igual a $x^2-(x-a)(x-b)$. Otra cosa que he intentado utilizar fue el hecho de que

$$\arccos(x) = \arcsin\left(\sqrt{1-x^2}\,\right)$$

también si intenta resolverlo por partes

$$ \left[ \arccos\left( \frac{x}{\sqrt{(a+b)x - ab \,}\,}\right) \right]_a^b = 0 $$

pero el resto de integral parece imposible. Si se utiliza la sustitución, $u=\text{denominator}$ termino con

$$ \frac{2}{a+b}\int u^2 \arccos\left( \frac{u^2 + ab}{u(b+a)} \right) \, \mathrm{d}u$$

También se $$I = \int_a^b \text{arccsc}\left( \sqrt{\frac{(a-x)(b-x)}{x^2}}\right)\mathrm{d}x$$

no está seguro de lo que esta compra mí, sin embargo. También he probado una gran variedad de ingeniosas cosas en la diferenciación bajo el signo integral, pero nada funcionó. Nadie cuenta ayudarme ? =)

Answer 1

Un breve y hermoso solución ya ha publicado mientras estaba escribiendo esta respuesta, así que no estoy seguro de si va a ser útil...

Deje $\alpha = \sqrt{b/a} > 1$$\beta = \frac{1}{2}(\alpha - \alpha^{-1})$. A continuación, por la sustitución de $ x = \sqrt{ab} u$, es suficiente para mostrar que

$$\int_{\alpha^{-1}}^{\alpha} \arccos \left( \frac{u}{\sqrt{(\alpha + \alpha^{-1}) u - 1}} \right) \; du = \frac{\pi \beta^2}{\alpha + \alpha^{-1}}.$$

Ahora por la sustitución de $v = \sqrt{(\alpha + \alpha^{-1}) u - 1}$, es equivalente a

$$\int_{\alpha^{-1}}^{\alpha} 2 v \arccos \left( \frac{v + v^{-1}}{\alpha + \alpha^{-1}} \right) \; dv = \pi \beta^2 .$$

Ahora la realización de la integración por partes, el lado izquierdo se convierte en

$$\int_{\alpha^{-1}}^{\alpha} \frac{v^2 - 1}{\sqrt{(\alpha + \alpha^{-1})^2 - (v + v^{-1})^2}} \; dv = \int_{\alpha^{-1}}^{\alpha} \frac{v^2 - 1}{\sqrt{(\alpha - \alpha^{-1})^2 - (v - v^{-1})^2}} \; dv .$$

Por último, conecte $v = w + \sqrt{1+w^2}$. A continuación, esta integral se reduce a

$$\int_{-\beta}^{\beta} \frac{w\left(w+\sqrt{1+w^2}\right)^2}{\sqrt{\beta^2 - w^2}\sqrt{1+w^2}} \; dw .$$

Ahora la expansión de la plaza en el numerador, el extraño términos cancelar, produciendo

$$\int_{-\beta}^{\beta} \frac{2w^2}{\sqrt{\beta^2 - w^2}} \; dw .$$

Esta integral se calcula fácilmente mediante la sustitución de $w = \beta \sin\theta$, la verificación de la identidad como desee.

Answer 2

La respuesta es $$\int_{x=a}^b \arccos\left({x\over\sqrt{(a+b)x-ab}}\right)\,dx={\pi (b-a)^2 \over 4(a+b)}.$$

Este es el problema 11457 de la American Mathematical Monthly. El problema fue publicado en octubre de 2009 de la revista, y la solución apareció en la edición de abril de 2011.

Usando integración por partes $\int u \,dv=uv-\int v\,du$ con $u=\arccos\left({x\over\sqrt{(a+b)x-ab}}\right)$ $v=x-ab/(a+b)$ tenemos $$\int_{a}^b \arccos\left({x\\sqrt{(a+b)x-ab}}\right)\,dx =\int_a^b {(b+a)x-2ab\over 2(a+b)\sqrt{(b-x)(x-a)}}\,dx .\tag1 $$ Mediante el cambio de variables $w=(2x-(a+b))/(b-a)$, la integral en el lado derecho de (1) se convierte en $$\int_{-1}^1 {b^2-a^2)w+(b-a)^2 \de más de 4(a+b)\sqrt{1-w^2}}\,dw ={ (b-a)^2 \de más de 4(a+b) } \int_{-1}^1{dw \\sqrt{1-w^2}} ={\pi (b-a)^2 \de más de 4(a+b)},$$ puesto que la integral de la función odd $w/\sqrt{1-w^2}$ más de el intervalo de $(-1,1)$ es cero, y $\int_{-1}^1 (1-w^2)^{-1/2}\,dw=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\pi$.

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El integrando es el ángulo de $\theta(x)$ en este diagrama. He tratado de encontrar una explicación geométrica para el OP de la integral, pero yo no. Tal vez alguien más puede tener éxito?

Answer 3

¿Tratas de? Como mi primera intuición:

$\int \arccos\left(x\,/\sqrt{(a+b)x-ab\,}\,\right)\,\mathrm {d}x=x.\arccos\left(x\,/\sqrt{(a+b)x-ab\,}\,\right)+\int x.\frac{\left(x\,/\sqrt{(a+b)x-ab\,}\,\right)'}{\sqrt{1-\frac{x^2}{(a+b)x-ab}}}\,\mathrm {d}x$