Círculo inscrito en un triángulo rectángulo

Question

En ángulo recto $\triangle ABC$ con catheti $a = 11\,\text{cm}, b=7\,\text{cm}$ se ha inscrito un círculo. Halla el radio y la altitud de $C$ a la hipotenusa.

Encontré que la hipotenusa es $c = \sqrt{170}$ y el radio es $r = \frac{a+b-c}{2}=\frac {18 - \sqrt{170}}{2}$ . Creo que la altitud $CH=$ la suma de los radios de las circunferencias inscritas en $\triangle ABC, \triangle AHC, \triangle HBC$ pero no entiendo cómo debo calcularlos. Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $h$ sea la altitud del triángulo cuya línea parte $\sqrt{170}$ en $x$ y $\sqrt{170}-x$ . Sabemos que el área total del triángulo es $$\frac12\cdot7\cdot11=\frac12h(\sqrt{170}-x)+\frac12hx\implies\text{altitude}=h=\frac{77}{\sqrt{170}}.$$

Answer 2

Supongo que se refiere a que $CH$ es la altitud desde $C$ a la hipotenusa.

Desde $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo, y como $\triangle AHC$ y $\triangle HBC$ comparten un ángulo con $\triangle ABC$ , los tres triángulos son semejantes. Tenemos $$ \frac{CH}{AC} = \frac{BC}{AB} $$ y (equivalentemente) $$ \frac{CH}{BC} = \frac{AC}{AB}. $$

Los radios de los tres círculos son proporcionales a $AB,$ $AC,$ y $BC,$ por lo que su suma es \begin{align} \frac{a+b-c}{2} + \frac{a(a+b-c)}{2c} + \frac{b(a+b-c)}{2c} &= \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2c} \\ &= \frac{(a+b)^2 - c^2}{2c} \\ &= \frac{ab}{c}, \end{align} que es igual a la altitud.