Asociatividad de un anillo de homología de un espacio-H.

Question

Deje $X$ ser una base topológica del espacio con $\mu:X\times X\rightarrow X$ que es homotopy asociativa y unital wrt el punto de base. Llamamos a$(X,\mu)$ asociativa H-espacio. La multiplicación en $H_*(X)$ se define como $H_*(X)\otimes H_*(X)\rightarrow H_*(X\times X)\rightarrow H_*(X)$ con el segundo mapa que se inducen por $\mu$ y el primero por la Kunneth teorema. Es allí una manera de probar la asociatividad de esta multiplicación sin hacer referencia a la definición de Eilenberg-Zilber mapa que se utiliza en la Kunneth teorema? Estoy buscando una prueba que utiliza connaturalidad o algunas otras propiedades de un mapa de $H_*(X)\otimes H_*(X)\rightarrow H_*(X\times X)$ si es posible.

Esta pregunta viene de la sección 3.C de Hatcher donde demuestra que la homología y cohomology de una $H$-espacio son álgebras de Hopf. Él demuestra sólo la counit axim para la cohomology y yo estaba tratando de llenar todos los detalles para otros axiomas sin ir a la definición real de Eilenberg-Zilber mapa, que es más bien técnico.

Las eventuales referencias que también sería útil.

Answer 1

Deje $X$ ser un homotopy asociativa $H$espacio, con la multiplicación de la $\mu$. Todos homología y cohomology se toma con coeficientes en un campo fijo. Yo no estaba seguro de en los comentarios si fue la asociatividad de la homología de la cruz de productos que no estaban seguros de, o algo más. Me sugirió acercando el doble problema de coassociativity de la subproducto en cohomology ya sé que Hatcher demuestra que la copa productos son associtive (y estos son los mismos que los cohomology de productos cruzados). De todos modos, voy a utilizar la homología en este post, y si yo lo he entendido mal el contenido de su pregunta, por favor hágamelo saber.

Voy a escribir $m$ para el Pontryagin producto, que es la composición $$m:H_*X\otimes H_*X\xrightarrow\times H_*(X\times X)\xrightarrow{\mu_*}H_*X$$ donde $\times$ es la homología de la cruz del producto y de la $\mu:X\times X$ es el homotopy asociativa H-espacio de la multiplicación. A continuación, directamente de las definiciones que tenemos un diagrama conmutativo de abelian grupos y homomorphisms $\require{AMScd}$ \begin{CD} H_*X\otimes H_*X\otimes H_*X@>1\otimes m>> H_*X\otimes H_*X@>m>> H_*X\\ @V\cong V 1\otimes\times V @V= V V&@V= V V\\ H_*X\otimes H_*(X\times X) @>1\otimes\mu_*>> H_*X\otimes H_*X@>m>>H_*X\\ @V\cong V\times V @V\cong V\times V&@V= V V\\ H_*(X\times X\times X) @>(1\times\mu)_*>> H_*(X\times X)@>\mu_*>>H_*X. \end{CD} El único lugar que commuativity no es obvio es la parte inferior-izquierda de la plaza, y de aquí se deduce de la connaturalidad de la homología de la cruz del producto, una declaración de la que se puede encontrar como Lema 3B.2 (pg. 270).

Ahora sabemos que homotópica mapas de inducir los mismos mapas en la homología, y como lo hemos asumido la existencia de un asociando homotopy

$$\mu\circ(1\times\mu)\simeq\mu\circ(\mu\times 1)$$

podemos utilizar functorality de la inducida por homomorphisms para obtener

$$\mu_*(1\times\mu)_*=(\mu\circ(1\times\mu))_*=(\mu\circ(\mu\times1))_*=\mu_*(\mu\times1)_*$$

para los mapas en la fila inferior de nuestro diagrama.

Por lo tanto, si volvemos a nuestro primer diagrama y cambiar el horquillado para obtener una segunda commuative diagrama $\require{AMScd}$ \begin{CD} H_*X\otimes H_*X\otimes H_*X@>m\times 1>> H_*X\otimes H_*X@>m>> H_*X\\ @V\cong V \times\otimes 1 V @V= V V&@V= V V\\ H_*(X\times X)\otimes H_*X @>\mu_*\otimes 1>> H_*X\otimes H_*X@>m>>H_*X\\ @V\cong V\times V @V\cong V\times V&@V= V V\\ H_*(X\times X\times X) @>(\mu\times 1)_*>> H_*(X\times X)@>\mu_*>>H_*X \end{CD} a continuación, nos encontramos con que podemos pegar este nuevo diagrama y nuestro primer diagrama juntos a lo largo de su parte inferior de filas utilizando la propiedad conmutativa de la plaza $\require{AMScd}$ \begin{CD} H_*(X\times X\times X)@>(1\times\mu)_*>> H_*(X\times X)\\ @VV(\mu\times_1)_* V @VV \mu_* V\\ H_*(X\times X) @>\mu_*>> H_*(X). \end{CD}

En esta etapa estamos volando tan por encima de mi AMScd habilidades que no voy a intentar cualquier diagramas, pero espero haber hecho lo suficiente para convencerte de que el resultado es cierto.