El límite de$\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor$, ya que$x$ va a cero

Question

Encontrar $\lim\limits_{x\to 0^+}\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor$ e $\lim\limits_{x\to 0^-}\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor$ ?

Véase el gráco de la función en GeoGebra. En el gráfico parece que $\lim\limits_{x\to 0^+}\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor=0$ e $\lim\limits_{x\to 0^-}\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor=1$ pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

$\lim\limits_{x\to 0^-}\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor$ es de hecho igual a $1$ .

Pero $\lim\limits_{x\to 0^+}\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor$ no existe, porque cuando $x=1/n$ para un entero positivo $n$ , entonces $\left\lfloor x \left\lfloor \frac1x \right\rfloor \right\rfloor$ es igual a $1$ , no $0$ .

Answer 2

Si nos fijamos en $$f(x)=\lfloor \frac1x \lfloor x\rfloor\rfloor$$ A continuación, para $n\in \Bbb{N}$ e $x\in(n,n+1)$ tenemos que $$\frac1x\lfloor x\rfloor=\frac{n}{x}<1$$ so $f(x)=0$ and for $x\in(-n-1,-n)$ we have that $$\frac1x\lfloor x\rfloor =\frac{-n-1}{x}>1$$ and that is also $<2$ so $f(x)=1$.

Así que usted podría hacer un error (como hice yo) diciendo $$\lim_{x\to\infty}f(x)=0=\lim_{x\to0^+}f(\frac1x)\\\lim_{x\to-\infty}f(x)=1=\lim_{x\to0^-}f(\frac1x)$$ Sin embargo, la función es en realidad discontinua en los enteros positivos debido a $f(1)=f(2)=\cdots=f(n)=1$ aunque $\lim_{x\to n}f(x) = 0$ el límite global para el infinito no existe.

La función es continua para $x<-1$ por lo tanto el límite de $-\infty$ es, de hecho, $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=1=\lim_{x\to0^-}f(\frac1x)$$