¿Hay otro par de primos consecutivos con esta propiedad?

Question

Denotar $$r(n)$$ to be the number that occurs if we reverse the digits of $n$

Supongamos, $\ (p,q)\ $ es un par de números primos consecutivos.

La única prime $p$ con la propiedad $$r(p)=2q$$ I found is $\ p=479\ $.

Hay otra prime $p$ con la propiedad ?

Por el contrario ecuación, es decir, $$r(q)=2p$$ I no encontrar un solo ejemplo.

He comprobado ambas ecuaciones hasta $p=10^9$

Answer 1

Aquí hay dos pares de números primos consecutivos $(p,q)$ con $r(q)=2p$: $$p=4574\cdot 10^{123} - 3123,\quad q = 4574\cdot 10^{123} - 2581$$ y $$p=494\cdot 10^{213} - 303,\quad q = 494\cdot 10^{213} - 211.$$

De fondo. La diferencia entre los números primos consecutivos es mucho menor que el de los números primos (por ejemplo, ver Cramér de la conjetura), pero no hay muchos patrones para los números de $(p,q)$ con $r(p)=2q$ o $r(q)=2p$ con pequeña diferencia $q-p$. Además, algunos de estos patrones de producir números con pequeños factores, por lo que no puede entregar los números primos. A continuación se describen los patrones de las diferencias por debajo de $100$ que potencialmente puede producir primer pares.

El más sencillo y atractivo modelo para $r(q)=2p$ diferencia $2$ es $p = 5\cdot 10^n - 3$ e $q = 5\cdot 10^n - 1$ con $n\geq 3$. Tan pronto como estos $p$ e $q$ son ambos primos, tenemos la garantía de que son consecutivos como primer gemelos. Por desgracia, si el primer gemelos existen, $n$ sería muy grande como se puede ver a partir de las secuencias A103003 y A056712 pequeñas que carecen de términos comunes.

Próxima posible diferencia principal en orden creciente son

• $28$ dado por $p = 48\cdot 10^n - 41$ e $q = 48\cdot 10^n - 13$ con $r(p)=2q$ para todos los $n\geq 2$.
• $32$ dado por $p=454\cdot 10^n - 323$ e $q= 454\cdot 10^n - 291$ con $r(q)=2p$ para todos los $n\geq 3$.
• $58$ dado por $p = 493\cdot 10^n - 411$ e $q=493\cdot 10^n - 353$ con $r(p)=2q$ para todos los $n\geq 3$.
• $62$ dado por $p=474\cdot 10^n - 313$ e $q=474\cdot 10^n - 251$ con $r(q)=2p$ para todos los $n\geq 3$.
• $92$ dado por $p = 494\cdot 10^n - 303$ e $q = 494\cdot 10^n - 211$ con $r(q)=2p$ para todos los $n\geq 3$.

He rápidamente probado estos patrones para $n\leq 1000$ y para el último encontrado el segundo par de números primos consecutivos dado en la parte superior.

La ACTUALIZACIÓN. También he hecho una más extensa búsqueda sobre las grandes diferencias y encontrar otra pareja (que viene primero en la parte superior) haber diferencia 542.