Demostrar que cualquier solución de la ecuación diferencial de un oscilador puede escribirse como una suma de sinusoides.

Question

Supongamos que tenemos una ecuación diferencial con n funciones distintas de $t$ donde

$\frac{d^2x_1}{dt^2}=k_{11}x_1+...k_{1n}x_n$

.

.

.

$\frac{d^2x_n}{dt^2}=k_{n1}x_1+...k_{nn}x_n$

Quiero demostrar que cualquier conjunto de soluciones de esta ecuación diferencial $(x_1,x_2,...,x_n) $

puede escribirse como una combinación lineal de soluciones de la forma $(e^{iw_1t},...,e^{iw_1t}), (e^{iw_2t},...e^{iw_2t}), ...,(e^{iw_mt},...e^{iw_mt})$ donde cada $w_j$ es un número real.

Es decir, quiero saber por qué el movimiento de cualquier oscilador puede escribirse como una combinación lineal de sus modos normales. También te agradecería que me dijeras si una demostración de este hecho tiene que ver con valores propios y vectores propios en general.

Answer 1

El sistema de ecuaciones diferenciales que escribiste podría escribirse como,

$$ \frac{d^2}{dt^2} \left[\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} k_{11} & \cdots & k_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{1n} & \cdots & k_{nn} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right]$$

$$ \frac{d^2}{dt^2} \vec{x} = K \vec{x}$$

La matriz $K=[k_{ij}]$ actúa sobre los índices de las funciones $x_1,\dots,x_n$ .

Supondremos que $K$ es diagonalizable con valores propios $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ .

Sea $\Lambda$ sea la forma diagonal de $K$ .

Sea $V$ sea la matriz de vectores propios de $K$ . Tenga en cuenta que $\Lambda = V^{-1} K V$ .

Ahora podemos escribir el sistema de ecuaciones diferenciales como,

$$ \frac{d^2}{dt^2} \vec{x} = V \Lambda V^{-1} \vec{x} $$

$$ V^{-1}\frac{d^2}{dt^2} \vec{x} = \Lambda V^{-1} \vec{x} $$

$$ \frac{d^2}{dt^2} V^{-1}\vec{x} = \Lambda V^{-1} \vec{x} $$

Sea $\vec{y} = V^{-1} \vec{x}$ entonces tenemos $ \frac{d^2}{dt^2} \vec{y} = \Lambda \vec{y} $ . Esto corresponde al siguiente sistema de ecuaciones.

$$ \frac{d^2 y_1}{dt^2} = \lambda_1 y_1 $$ $$ \frac{d^2 y_2}{dt^2} = \lambda_2 y_2 $$ $$ \vdots $$ $$ \frac{d^2 y_n}{dt^2} = \lambda_n y_n $$

Claramente las soluciones son de la forma,

$$y_j(t) = C_1 e^{\sqrt{\lambda_j}\ t} + C_2 e^{-\sqrt{\lambda_j}\ t},$$

para obtener el $x_j$ simplemente multiplicamos por el $V$ matriz.

$$ x_j(t) = \sum_i V_{ji} y_i(t)$$

Que las soluciones sean o no osciladores depende de si los valores propios son positivos, negativos o complejos. En aplicaciones físicas no sería raro que $K$ sea una matriz simétrica con valores propios negativos.