Cálculo típico BC Separación de variables Pregunta

Question

Me dijeron que tengo un cuerpo cilíndrico del tanque de agua $10$ ft de altura que puede almacenar $5000 $ ft$^3$ de agua, y que el agua de drenaje de la parte inferior del tanque a una velocidad proporcional a la instantánea del nivel de agua. Después de $6$ horas, la mitad del tanque se ha drenado de la parte inferior. Si el desagüe se abre y se agrega el agua al tanque a una tasa constante de $100$ $\frac{ft^3}{hr}$, ¿a qué altura por encima de la fuga de la elevación permanecen constantes?

Mi intento:

Nos da que $$\frac{dV}{dt}=kh$$ where $\frac{dV}{dt}$ is the rate at which water leaves the tank, $V$ is the total change in water that has left the tank, and $h$ es la altura del agua sobre el desagüe.

Si la elevación debe permanecer constante en el tanque, entonces yo soy el mero hecho de encontrar la altura en la que el agua que entra en el tanque es igual a la del agua que sale del tanque, y por lo tanto $\frac{dV}{dt}=100\frac{ft^3}{hr}$.

Para encontrar $k$, que debo hacer separación de variables e integrar ambos lados, de manera que: $$\int{dV}=\int{khdt}$$ $$V=kht+C$$ Sé que $C=0$ porque en $t=0$ hr, agua no ha dejado el tanque ($V=0$), y en $t=6$ hr, $V=2500$ ft$^3$ e $h=5$ ft, ya que la mitad del tanque se ha drenado.

La solución para $k$: $$2500=k(5)(6)+0$$ $$k=\frac{250}{3}$$ Y resolviendo $h$ cuando $\frac{dV}{dt}=100\frac{ft^3}{hr}$:$$100=\frac{250}{3}h$$ $$h=1.2ft$$ Sin embargo, la respuesta es en realidad acerca de $1.73ft$. Donde está mi error?

Answer 1

Tu error está en la solución de la ecuación diferencial y en la primera condición de frontera.

consulte la siguiente solución: $$\frac{dV}{dt}=kh$$ $$A\frac{dh}{dt}=kh$$ $$500\frac{dh}{h}=kdt$$ integrar $$500\log h=kt+C$$ en $t=0, h=10ft$

por lo $$C=1151.3$$ en $t=6 hr, h=5 ft$ $$k=-57.76$$ ahora uso que $$\frac{dV}{dt}=-57.76h$$ $$-100=-57.76h$$ así $$h=1.73 ft$$

Answer 2

Tenemos una ecuación diferencial que define la velocidad que el agua se retira el drenaje.

$\frac{dx}{dt} = -ax\\ x = C e^{-a}$

Sabemos que las condiciones iniciales y después de 6 horas para encontrar nuestras constantes.

$x(0) = 10$

Esto nos da $C$

$x(6) = 5\\ 5 = 10e^{-6a}\\ 6a = \ln 2\\ a = \frac{\ln2}{6}$

¿Qué sabemos acerca de las dimensiones del tanque?

$v = \pi r^2 x\\ \pi r^2 = 500$

El flujo del drenaje es igual a la de flujo en el tanque.

$\frac{dv}{dt} = \frac {dv}{dx}\frac{dx}{dt}\\ 500 \frac {dx}{dt} = 100\\ 500(\frac{\ln 2}{6})x = 100\\ x = \frac{6}{5\ln 2}$