Volumen máximo cilíndrico de una hoja de papel

Question

Tenemos una hoja de papel A4 y tenemos que construir un cilindro de volumen máximo usando esta hoja cortando un rectángulo y los dos círculos base para hacer la construcción.

Mi enfoque: denotar $\ell$ y $L$ las dimensiones de la hoja de papel, $r$ el radio del cilindro y $h$ la altura del cilindro.

Puedo trabajar con determinar el máximo (usando derivadas después de obtener la fórmula del volumen), pero el problema es: ¿cómo modelo precisamente esta situación, para estar seguro de obtener el volumen máximo? Veo dos casos, respecto a dónde "coloco" los dos círculos: "a lo largo" del lado más corto o del lado más largo del papel, pero parece que quedaría una parte de la hoja sin usar... (no solo cuando corto los círculos, lo cual es inevitable, sino incluso en el rectángulo que se envolvería para construir el cilindro). Puedo calcular un máximo "teórico", asumiendo que podría usar TODO el superficie de la hoja, pero ese cilindro no podría construirse prácticamente, o no veo cómo. Así que ese máximo teórico no es alcanzable, pero mi máximo... no estoy seguro de que sea el máximo real. Si me entiendes...

Answer 1

El papel A4 mide 210*297mm o 595 X 842 puntos. Para obtener el volumen máximo, queremos que la altura y el diámetro del cilindro sean iguales. El diámetro del círculo(s) será $d$ y el rectángulo será $dX\pi d$. Supongamos que quitamos un círculo del extremo por ahora, tal vez podamos obtener dos. Entonces tenemos dos escenarios.

Si colocamos el rectángulo a lo largo, tendremos $d+\pi d=842$. Entonces $d=\frac{842}{1+3.1415926}=203.3$. Dado que el papel tiene un ancho de $595$ puntos, podemos obtener $2$ círculos 203.3 puntos del extremo y $2$ rectángulos del cuerpo principal, cada uno de $203.3X638.7$ puntos.

Si colocamos el rectángulo a lo ancho del papel, tendremos un máximo de 595 puntos o $189.4$ puntos para $d$.

Supongamos, sin embargo, que hacemos el rectángulo con dos rectángulos más pequeños. Cada diámetro y ancho del rectángulo serían la mitad del ancho del papel: $\frac{595}{2}=297.5$ puntos. La longitud del rectángulo después de unir las dos mitades, extremo a extremo, sería $297.5*3.1415926=934.6$.

La mitad de esta longitud sería $457.3$ y eso dejaría $842-457.3-297.5=87.2$ puntos de desperdicio en el extremo del papel. No está mal. Espero que esto ayude.