Resuelve para x: $x^3-\lfloor x\rfloor=5$

Question

Resuelve para x: $$x^3-\lfloor x\rfloor=5$$

Mi intento: $x^3-5=\lfloor x\rfloor$

Ahora, $x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$

$x-1<x^3-5\leq x$

No se puede proceder desde aquí

Answer 1

Desde $$x^3-x-6< x^3-x-5\leq 0$$ tenemos $$(x-2)(x^2+2x+3)<0$$

Desde $x^2+2x+3 = (x+1)^2+2$ tenemos $\boxed{x<2}$ .

En el otro lado tenemos $$0<x^3-x-4<x(x^2-1)$$

así que $\boxed{x\in (-1,0)\cup (1,\infty)}$ . Ambos juntos conseguimos $$\boxed{x\in (-1,0)\cup (1,2)}$$

Ahora bien, si $x\in (-1,0)$ entonces $\lfloor x\rfloor = -1$ así que $x^3 = 4$ así que no hay solución.

y si $x\in (1,2)$ entonces $\lfloor x\rfloor=1$ así que $x^3= 6$ así que $x=\sqrt[3]{6}$ es una solución.

Answer 2

Escribe $\lfloor{x}\rfloor$ como $x-\epsilon$ donde $\epsilon$ es la parte fraccionaria, por lo que $0\le\epsilon<1$ . Consideremos ahora la función $f(x)=x^3-x-5+\epsilon$ , tenga en cuenta que $f$ tiene al menos una raíz ya que $f$ es un polinomio cúbico. Ahora diferenciamos y obtenemos $f’(x)=3x^2-1$ que tiene dos raíces $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Ahora:

$f(\frac{-1}{\sqrt{3}})=-\frac13+\frac{1}{\sqrt{3}}-5+a<0$ por lo que no hay solución para $x\le \frac{-1}{\sqrt3}$

$f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac13-\frac{1}{\sqrt{3}}-5+a<0$ por lo que no hay solución para $-\frac{1}{\sqrt3}\le x \frac{1}{\sqrt3}$

Finalmente $f$ tiene una sola raíz. Como $f(1)<0$ y $f(2)>0$ la raíz se encuentra en $(1,2)$ así $\lfloor{x}\rfloor=1$ que da $x=\sqrt[3]{6}$

Answer 3

Considere las tres funciones $y = x-1$ , $y = x ^ 3-5$ y $y = x$ . Compara la parte del gráfico de $y = x ^ 3-5$ que está entre los gráficos de $y = x-1$ y $y = x$ . ¿Qué se puede decir al respecto?

Las posibles soluciones de la ecuación $x^3-\lfloor x\rfloor=5$ viven en el conjunto de soluciones de la inecuación $x-1<x^3-5\leq x$ .

De la gráfica podemos ver que todas las soluciones de la ecuación $x^3-\lfloor x\rfloor=5$ son mayores que la única raíz real de $x^3-5= x-1$ y menos que la única raíz real de $x^3-5=x$ .