¿Por qué los cuaterniones satisfacen intuitivamente la mezcla de propiedades geométricas y algebraicas que cumplen?

Question

[Reescribió por completo la pregunta para ver si podía hacerlo más claro. Los comentarios de abajo no tiene ningún sentido. De hecho, mi primera pregunta ha sido respondida por Eric Wolfsey, así que puede restaurar.]

Cuando usted lea acerca de los cuaterniones en la Wikipedia y en muchas otras fuentes, que son definidos con la relación $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$ Esto viene a través como completamente al azar. No hay ninguna explicación de donde esta relación viene.

De estas fuentes, van a demostrar que los cuaterniones satisfacer diversos algebraicas y propiedades geométricas. Entre estas propiedades, actúan sobre vectores 3D como rotaciones (pero como un doble cubierta), actúan en 4D espacio como rotaciones, son asociativas, son distributiva. Etc. Todo esto viene a través como una coincidencia cuando se la compara con la definición de la relación.

Algunos de los cuaterniones son considerados como 3D de las rotaciones. Pero esto es una mala interpretación, como una cuádrupla $q$ y su negación $-q$ representan la misma rotación. Por razones similares, además de los cuaterniones empieza a parecer más extraño.

Cuando se define como 4D rotaciones, pasan a ser un "isoclinic de rotación". No he pensado lo suficiente en este concepto...

Cuando se define como una compleja matriz que satisface una de álgebra lineal de la relación (de origen desde aquí: https://qchu.wordpress.com/2011/02/12/su2-and-the-quaternions/), cierre bajo la multiplicación es al horno, pero el cierre bajo, además de que viene a ser como una coincidencia. Esta relación es: $$M\text{ is a $2\times2$ matrix over $\mathbb C$}, M^\dagger M \in \mathbb R, \det(M) \geq 0 $$

El Álgebra geométrica de los libros de texto muestran que son una instancia de una familia más grande de álgebras con las interpretaciones similares, llamada Álgebra Geométrica (o Álgebras de Clifford). Pero entonces ¿por qué las Álgebras de Clifford existen? ¿Por qué tienen su mezcla de algebraica y geométrica de las propiedades? Se siente como si usted está reemplazando un pequeño misterio con una aún más grande misterio.

Answer 1

La idea es que las rotaciones tienen una cierta rigidez en dos dimensiones: dada una base $\{e_1,e_2\}$, una vez que sabes donde una rotación envía $e_1$, la imagen de $e_2$ está determinada únicamente. Por otra parte, las condiciones que de forma única definir la imagen de $e_2$ puede ser escrito de forma lineal en la imagen de $e_1$ (si $\{e_1,e_2\}$ es una base ortogonal, entonces las condiciones son que la imagen de $e_2$ debe ser ortogonal a la imagen de $e_1$ y debe hacer a la matriz tiene determinante $1$). Como resultado, los múltiplos escalares de las rotaciones de forma lineal subespacio de todas las matrices.

Aquí es cómo funciona en detalle. Deje $V=\mathbb{R}^2$. Considerar la bilineal mapa de $\det:V\times V\to\mathbb{R}$ que lleva un par de vectores $(v,w)$ a el determinante de la matriz con columnas $v$ e $w$. Podemos pensar en este bilineal en lugar de como una lineal mapa de $V\to V^*$o, mediante el uso de la canónica de isomorfismo $V^*\cong V$ dada por el producto interior, como un lineal mapa de $J:V\to V$. Explícitamente, $J(v)$ es el único vector que satisface $\langle w,J(v)\rangle=\det(v,w)$ para todos los $w\in V$. Más explícita aún, si $\{e_1,e_2\}$ son el estándar de base para $V$, a continuación, $J(e_1)=e_2$ e $J(e_2)=-e_1$ (por lo $J$ es en realidad la multiplicación por $i$ cuando nos identificamos $ae_1+be_2$ con $a+bi$).

La observación clave es que una matriz de $T$ de columnas $v$ e $w$ es un escalar múltiples de un elemento de $SO(2)$ fib $w=J(v)$. Para probar esto, podemos escala de $T$ a asumir $v$ es un vector unitario (si $v=0$ es fácil ver que ambas condiciones son equivalentes a $w=0$). A continuación, $T$ es un escalar múltiples de un elemento de $SO(2)$ fib es un elemento de $SO(2)$ fib $w$ es ortogonal a $v$ e $\det(v,w)=1$. Tenga en cuenta que desde el complemento ortogonal de $v$ es $1$-dimensional, no hay una única $w$ ortogonal a $v$ tal que $\det(v,w)=1$. Ahora note que $J(v)$ es ortogonal a $v$ desde $\langle v,J(v)\rangle=\det(v,v)=0$ y que $\det(v,J(v))=\langle v,v\rangle=1$. Así en el hecho de $J(v)$ es la única $w$ que hará $T$ un escalar múltiples de un elemento de $SO(2)$. Por lo tanto $T$ es un escalar múltiples de un elemento de $SO(2)$ fib $w=J(v)$.

Finalmente, el conjunto de matrices que satisfacen $w=J(v)$ es, obviamente, cerrado bajo la suma, y así llegamos a la conclusión de que así es el conjunto de múltiplos escalares de los elementos de $SO(2)$. Por otra parte, vemos que el mapa de tomar este tipo de matriz a su primer columna es un isomorfismo lineal. De esta manera cubrimos el estándar de identificación entre el $\mathbb{C}$ (considerado como el conjunto de los múltiplos escalares de los elementos de $SO(2)$) y $\mathbb{R}^2$.

[Este debate puede ser más base libre de diversas maneras. En particular, en lugar de forma explícita a hablar acerca de las columnas de las matrices, se puede fijar un vector unitario en $\bigwedge^2 V$, el uso de la unidad de vectores para obtener un isomorfismo $\bigwedge^2 V\cong\mathbb{R}$ y reemplace $\det$ por la cuña mapa de producto $V\times V\to \bigwedge^2 V\cong\mathbb{R}$ cuando la definición de $J$. A continuación, una dirección de la segunda parte de la tesis se recrea como una prueba de que si $T$ es un escalar múltiples de un elemento de $SO(2)$ entonces $T$ viajes con $J$. Por el contrario, no veo una forma de evitar completamente el uso de una base.]

Para cuaterniones y $SU(2)$, la historia es la misma, excepto que usted tome $V=\mathbb{C}^2$ e $J$ es conjugado-lineal en lugar de lineal (desde el interior del producto es sesquilinear).

Answer 2

Voy a tratar de abordar esta parte de tu pregunta, ya editado. (Si desea restaurar la versión original, que no he visto, esto puede no ser una respuesta, aunque debe de ser como un pedazo de la historia.)

Esto viene a través como completamente al azar. No hay ninguna explicación de donde esta relación viene.

De estas fuentes, van a demostrar que los cuaterniones satisfacer diversos algebraicas y propiedades geométricas. Entre estas propiedades, actúan en vectores 3D como rotaciones (pero como un doble cubierta), actúan en 4D el espacio como rotaciones, son asociativas, son distributiva. Etc. Todo esto viene a través como una coincidencia cuando se los compara para la definición de la relación.

Los matemáticos son naturalmente curiosos. Cada pregunta que la respuesta sugiere que otros. A veces las respuestas son útiles, a veces satisfactorio para su propio bien.

Los números complejos fueron inventadas (o descubierto, dependiendo de su filosóficas doblada) en el siglo 16 para resolver ecuaciones polinómicas - matemáticos fueron sorprendidos y desconcertados al ver que eran necesarios en la fórmula para hallar las raíces cúbicas de incluso cuando todos los tres raíces eran reales. La página de la wikipedia, es una buena referencia para este y el subsiguiente de la historia. La ampliación de cálculo para funciones complejas de una variable compleja led extraordinariamente útil e interesante de las matemáticas. Por otra parte, los números complejos resultó ser un buen camino para el estudio de las rotaciones en el plano.

Una vez que los matemáticos se define la multiplicación de los vectores en el plano (además siempre estuvo ahí) era natural preguntarse acerca de cómo definir la multiplicación de vectores en el espacio. La esperanza era encontrar una expresión algebraica de la estructura que podría modelo de rotaciones en el espacio de forma análoga a cómo el complejo los números de modelo de las rotaciones en el plano.

Muchos intentaron y fracasaron. Hamilton logró - en cierta manera - mediante el uso de una cuarta dimensión y la invención de los cuaterniones. La aparentemente arbitrario $i^2 = j^2 = k^2 = -1$ y el anticommutation reglas fueron obligados a él por lo que él podía captar cómo las rotaciones de componer. Que la motivación se pierde cuando usted acaba de empezar con una definición. De hecho, el álgebra matricial (inventado en aproximadamente el mismo tiempo) proporciona una mejor manera de trabajar con las rotaciones de manera algebraica. Cuaterniones languideció hasta que un reciente resurgimiento como una razonable estructura de datos para la manipulación en 3d los gráficos de ordenador.

En el mientras tanto matemáticos demostrado que sólo en las dimensiones de un poder de $2$ hubo incluso una esperanza razonable de vectores multiplicación - y entonces te tienes que relajar el significado de "razonable". Cuaterniones la multiplicación es no conmutativa. La multiplicación en el Cayley álgebra en la dimensión $8$ no es asociativa.

Este desde el final de su pregunta es una característica de las matemáticas, no es un problema:

Se siente como si usted está reemplazando un pequeño misterio con una aún más grande misterio.