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¿La ley del cuadrado inverso no es precisa para las masas no puntuales?

Parecería que la ley del cuadrado inverso, popularizada por Isaac Newton, sólo es válida para las masas que no tienen ninguna dimensionalidad y son un solo punto. En otras palabras, es sólo un ideal, no una realidad práctica. Por ejemplo, imaginemos que tenemos un pequeño satélite, X, orbitando un cuerpo mucho más grande:

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X será atraído a todas las partes del planeta que orbita. Si imaginamos que la masa del elemento A es igual a la de C y A+C=B, entonces podemos ver que por la ley del cuadrado inverso, la fuerza entre X y A será proporcional a 1/9, la fuerza entre X y B será proporcional a 2/16=1/8, y la fuerza entre X y C será proporcional a 1/25. Así, la fuerza total que A y C ejercen sobre X es proporcional a 34/225 que es más de 1/8.

Podemos extrapolar este mismo argumento básico a cada par de elementos simétricos de masa que componen el planeta. Por lo tanto, la fuerza entre X y el planeta es diferente que si toda la masa del planeta se hubiera situado en B.

A partir de este ejemplo, parecería que la ley del cuadrado inverso de la gravitación no es exacta en los escenarios reales, y que cuanto más cerca está un satélite de su anfitrión, menos exacta es la ley.

¿Existe alguna ecuación más precisa que represente con mayor exactitud este estado de cosas, o es necesario el cálculo bruto por integración de elementos finitos?

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La Tierra es una masa puntual en comparación con la masa del Sol, por lo que con un grado de precisión extremadamente alto se puede modelar a los planetas como si fueran masas puntuales, que es lo que hizo Newton en los Principia. Además, Newton no se limitó a "popularizar" la ley: demostró su coherencia matemática y la derivó de la ley de la gravitación universal. Hooke no hizo nada para demostrarla matemáticamente o su universalidad y sólo especuló sobre su existencia en el Sistema Solar, no se dejen engañar por los comentarios de Stephen Hawking ya que no siempre sabía de lo que hablaba.

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Puesto que las masas no puntuales pueden considerarse como conjuntos de un montón de masas puntuales diminutas, la ley del cuadrado inverso se sigue aplicando cuando se suman las contribuciones al cuadrado inverso de todas las masas puntuales diminutas. Así es como se calcula el campo gravitatorio de los objetos extensos (aunque normalmente trabajamos en el límite en el que la masa no puntual está formada por infinitas masas puntuales de masa infinitesimal; el cálculo se inventó precisamente para sumarlas todas).

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Hay más masa en su esfera situada cerca de d=5 que cerca de d=3.

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Luke Puntos 1209

No es del todo cierto decir que la ley del cuadrado inverso "no es exacta para no puntual masas". La respuesta más correcta es decir que no es exacto para simétrica no esférica masas.

La ley del cuadrado inverso depende, esencialmente, del hecho de que la fuente "se ve" igual para el objeto que atrae, independientemente de dónde se encuentre. Si puede "ver" una protuberancia que le molesta desde una dirección más que desde otra, sentirá más fuerza de esa protuberancia que de otra forma, incluso estando a la misma distancia del centro de masa, violando así la ley del cuadrado inverso. Por ejemplo, un objeto asteroidal/cometario bilobulado como el recientemente descubierto "Ultima Thule" con un lóbulo apuntando hacia ti, frente a estar a la misma distancia pero "viéndolo" de lado.

Para una masa esféricamente simétrica, se puede demostrar que la ley de Newton se cumple en su forma habitual. Esto puede hacerse mediante un análogo gravitatorio de la ley de Gauss para campos eléctricos:

$$\oint\int_S \mathbf{g} \cdot d\mathbf{l} = -4\pi GM_\mathrm{enc}$$

donde $S$ es una superficie cerrada que encierra la masa (no puedo escribir bien aquí esa cosa rara del círculo alrededor de la integral, lo siento) y $M_\mathrm{enc}$ la masa encerrada. También se puede integrar la ley de Newton, pero no es tan fácil.

También es importante señalar que la simetría esférica no sólo debe estar en la forma bruta de la masa, sino también en su distribución de densidad. De hecho, el campo gravitatorio de la Tierra no es esféricamente simétrico y, por lo tanto, no es cuadrado inverso para los objetos cercanos a la Tierra, principalmente debido a las inhomogeneidades que existen en su interior, un hecho que se pone de manifiesto si se observa el "geoide", un mapa de la forma del campo gravitatorio de la Tierra que se utiliza en cartografía para dar un significado preciso al término "nivel del mar". Y ello a pesar de que la forma bruta de la Tierra es una esfera tan buena, si no mejor, que muchos objetos "esféricos" que se pueden sostener en la mano.

(Nota: otra posibilidad, hasta ahora puramente hipotética o fantástica, pero posiblemente más dramática, de violarla sería que existieran masas gravitatorias negativas [probablemente violando la teoría de Einstein]: éstas permitirían la creación de "dipolos gravitatorios" [es decir, un momento dipolar gravitatorio no removible] que serían análogos a los dipolos eléctricos y, por lo tanto, tendrían un efecto inverso a la gravedad). cubo ley).

AÑADE (ver comentarios): Como nota, este resultado es también un caso del famoso teorema de la cáscara y fue demostrado por el propio fundador de la mecánica clásica, Sir Isaac Newton. Lo anterior es un enfoque más moderno para derivar el resultado.

ADD 2 : Observo que se ha buscado una explicación, no sólo para el modo correcto de prueba del comportamiento cuadrático inverso para una masa extendida esféricamente simétrica, sino también para por qué el OP's intento prueba de ello es errónea. La razón fundamental es que la característica esencial -la ley del cuadrado inverso- del comportamiento esférico-simétrico no puede analizarse en términos de los comportamientos de sus partes individualmente: se sólo aparece al añadirlos todos juntos, holísticamente, al menos hasta el punto de alcanzar una simetría esférica completa. No basta con que los dos elementos de masa seleccionados de la esfera sean simétricos respecto a su centro. Porque mientras ellos, juntos, tienen algunos simetría (a saber $\mathrm{O}(2) \times \mathbb{Z}_2$ ), no tienen esférica simetría. Así, solo lo harán nunca ser enteramente sustituibles por una concentración puntual como usted intenta hacer y sólo puede engañarse en cuanto al conjunto del comportamiento pensando sólo en ellos, individualmente. Este error lógico en realidad tiene un nombre: se llama el falacia del compuesto - suponer que un sistema compuesto tiene necesariamente, o "hereda", las mismas propiedades que sus partes. No es así o, si lo es, hay que demostrarlo y no deducirlo simplemente del hecho de que esté compuesto.

(Bueno, en realidad puede romperlo, pero hay que "pelarlo como una cebolla" en cáscaras esféricas. No incluyo esto porque es, en efecto, "trivial": la "parte buena" -es decir, la diferencia fundamental entre simetría esférica y no esférica- ya está ahí una vez que haces eso, ya que tiene y, por lo tanto, no tiene explicando o probando poder, diría yo. Como mucho, podría ser el último paso de una prueba, pero no el más sustancioso).

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FWIW, la falta de la "cosa círculo divertido" es un problema conocido en MathJax .

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Bien, ¿cuál es entonces el error en mi análisis?

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@AmbroseSwasey Sólo has considerado correctamente los puntos A, B y C. Si sumas todos los puntos con cuidado, la media es correcta. Por ejemplo, si consideras los puntos D y E, de forma que DE es perpendicular a AB, entonces tanto D como E contribuyen menos campo gravitatorio que B, lo que compensa en parte el hecho de que (como usted ha señalado) A y C contribuyen de media más que B.

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KR136 Puntos 46

La ley del cuadrado inverso es exacta siempre que puedan despreciarse las correcciones relativistas generales. Para cualquier distribución de masas, la fuerza se puede hallar sumando la contribución de la ley cuadrática inversa de sus partes, es decir, mediante la convolución de la distribución de densidades con la ley cuadrática inversa.

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John Duffield Puntos 4475

No, la ley del cuadrado inverso no es exacta para masas no puntuales. Ni siquiera es exacta para masas no puntuales esféricamente simétricas. Echa un vistazo al artículo de Wikipedia sobre el potencial gravitatorio. El gráfico de la derecha muestra la fuerza de gravedad para la Tierra. No es un gráfico de regla cuadrática inversa. La fuerza de la gravedad se reduce a medida que se asciende y se aleja de la superficie de la Tierra, y se reduce a medida que se desciende hacia el centro. Si estuvieras en una cámara gedanken en el centro de la Tierra, flotarías sin peso.

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Imagen CCASA por AllenMcC, ver Wikipedia Commons

En general, yo diría que la regla del cuadrado inverso es suficientemente buena la mayor parte del tiempo cuando hablamos de mecánica celeste. Probablemente no lo sea cuando hablamos de estrellas de neutrones en órbita. Quizá algún astrónomo pueda decirte algo al respecto.

Edición: tenga en cuenta los comentarios a continuación.

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