Es $\frac{1}{\exp(z)} - \frac{1}{\exp(\exp(z))} + \frac{1}{\exp(\exp(\exp(z)))} -\ldots$ ¿Todo?

Question

Sea $z$ sea un número complejo. ¿Es la serie infinita alterna $$ f(z) = \frac{1}{\exp(z)} - \frac{1}{\exp(\exp(z))} + \frac{1}{\exp(\exp(\exp(z)))} -\dotsb $$ ¿una función entera? ¿Converge en todas partes?

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Preguntas adicionales (añadido 16 dic)

Consideremos un caso similar para $z$ ser real o tener una pequeña parte imaginaria:

$$ g(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{\exp(z)} + \frac{1}{\exp(\exp(z))} + \frac{1}{\exp(\exp(\exp(z)))} + \dotsb$$ Como tal $g(z)$ converge para $z$ pero diverge para los no reales.

Así que intentamos algún tipo de continuación:

$$ g(z) = 1/z + 1/\exp + \dotsb$$ $$g(\exp) = 1/\exp + \dotsb $$

Así $ g(z) - g(\exp(z) ) = 1/z $

$$ \exp(z) = g^{[-1]} ( g(z) - 1/z ) $$

Llama a esa solución $g_1(z)$ .

Supongamos diferenciabilidad y tomemos la derivada a ambos lados. (Observa que podemos repetir para obtener infinitas ecuaciones).

$$ \exp(z) = \frac{d}{dz} g^{[-1]} ( g(z) - 1/z) $$ [Por supuesto, podemos simplificar el lado derecho aplicando la regla de la cadena y la regla de la derivada de la función inversa - ¿nombre? - ]

Y en General las ecuaciones

$$ exp(z) = \frac{d^m}{dz^m} g^{[-1]} ( g(z) - 1/z ) $$

La cuestión es: ¿obtienen estas ecuaciones soluciones analíticas o no?

También podríamos combinar las ecuaciones para obtener otras nuevas.

Así, por ejemplo:

$$ g^{[-1]} ( g(z) - 1/z ) = \frac{d}{dz} g^{[-1]} ( g(z) - 1/z ) $$

Y podríamos continuar tomando cualquier número entero positivo de $a$ en el LHS y cualquier número entero positivo de $b$ Derivada en el lado derecho

Entonces, ¿todas estas ecuaciones no son analíticas en ninguna parte? ¿O algunas? ¿o todas? ¿Y cuando son analíticas es posible hacer continuación analítica? ¿Existen límites naturales?

Muchas preguntas.

De hecho, ni siquiera estoy seguro de cómo resolver estas ecuaciones, ni con expresiones ni numéricas. - en términos de números complejos por supuesto de lo contrario simplemente uso la suma desde el principio -.

< ps he considerado el uso de la inversa funcional de $ g $ con notación $G$ por lo que las simplificaciones de las derivadas toman una forma diferente, sin embargo, esto no hace ninguna diferencia esencial supongo >

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Answer 1

No. Hay infinitas $z$ para lo cual $e^z = z$ es decir, las ramas de $-\text{LambertW}(-1)$ : aproximadamente $ 0.3181315052 \pm 1.337235701\,i, 2.062277730 \pm 7.588631178\,i, 2.653191974 \pm 13.94920833\,i, \ldots$

Answer 2

¡Ni siquiera creo que sea analítico! He aquí una demostración de que f(z) no es analítica en ninguna parte del eje real, pero probablemente es infinitamente diferenciable. $f(z)=\frac{+1}{\exp(z)}+\frac{-1}{\exp^{o2}(z)}+\frac{+1}{\exp^{o3}(z)}+\frac{-1}{\exp^{o4}(z)}....$

Las exponenciales iteradas en el plano complejo se comportan realmente mal. Para z en el eje real, f(z) parece converger muy bien ya que $\exp^{on}(z)$ para z real se hace rápidamente arbitrariamente grande, lo que significa que $\frac{1}{\exp^{on}(z)}$ se hace arbitrariamente pequeño. Pero, ¿y para un valor complejo de z próximo al eje real?

Consideremos un pequeño delta complejo, donde elegimos el valor de delta tal que: $\exp^{on}(z+\delta)=\exp^{on}(z)+\pi i$ donde delta es $\delta=\log^{on}(\exp^{on}(z)+\pi i)$ . Aquí estamos diciendo que para un valor real arbitrariamente grande, podemos calcular delta tal que cerca de z es un valor real idéntico + $\pi i$ . Entonces $\exp^{on+1}(z+\delta)=-\exp^{on+1}(z)$ Y entonces $\exp^{on+2}(z+\delta)=\frac{1}{\exp^{on+2}(z)}$ . Por fin, $\frac{1}{\exp^{on+2}(z+\delta)}=\exp^{on+2}(z)$ que, inesperadamente, es un número real arbitrariamente grande, cuando esperábamos un número real arbitrariamente pequeño.

Tomemos un ejemplo $f(0+\delta)$ donde podemos calcular fácilmente que

$f(0)=1-\frac{1}{^1e}+\frac{1}{^2e}-\frac{1}{^3e}+\frac{1}{^4e}\approx0.69810833$ .

El 5º plazo es $\frac{1}{^4e}\approx4.289\times10^{-1656521}$ que es un número muy pequeño. Pero consideremos $\delta=\log^{o3}(\exp^{o3}(0)+\pi i)\approx0.013141+0.073577i$ . Entonces el 5º término cambia al recíproco del 5º término original, o $^4e\approx2.3315\times10^{1656520}$ . Si hiciéramos el mismo cálculo para el sexto término, el valor delta sería del orden de i/50000000, y sin embargo el sexto término sería demasiado grande para escribirlo en forma exponencial.

Pero este mismo argumento puede aplicarse fácilmente a cualquier valor real de z, donde a medida que aumenta n, $|\delta|$ se hace arbitrariamente pequeño y $\exp^{on+2}(z+\delta)$ se acerca arbitrariamente a cero, por lo que su recíproco es arbitrariamente grande. Entonces, f(z) sólo está definida en el eje real, pero no en el plano complejo en la vecindad del eje real. Sospecho que se pueden hacer argumentos similares para f(z) en cualquier parte del plano complejo, ya que el punto fijo de exp(z) es repelente, y entonces a medida que aumenta n, entonces hay algún valor arbitrariamente pequeño de $|\delta|$ lo que conduce a un valor negativo arbitrariamente grande para $\exp^{on+1}(z+\delta)$ los detalles serían más desordenados que en el eje real.

He calculado cómo cambia la serie de Taylor a medida que aumenta el número de iteraciones n, para una función similar que implica la tetración, ¡lo cual es un cálculo complicado! Lo raro es que esta función es casi analítica. Abajo, he puesto los primeros 21 términos de la serie de Taylor para f(z) centrada en z=0, con n=4 términos de aproximación. Sabemos que cambiar a n=5 añade $\frac{1}{^4e}$ al término constante de la serie de Taylor, que por supuesto es completamente insignificante. Resulta que cambiar a n=5 también tiene un efecto insignificante en las primeras 650.000 derivadas; donde insignificante significaría que al menos los primeros 10 mil dígitos de la mantisa no cambian. Pero entonces, de repente, este ruido de alta frecuencia toma el control, en algún punto antes de la derivada 700.000 más o menos. El cálculo del punto de cruce se basa en un ejemplo similar anterior, no en este caso concreto (pero probablemente sea correcto).

Los términos de la serie de Taylor a continuación son para n=4 son de la pregunta actual, y su bastante preciso en el rango de -0,3 a 0,3. Como se ha señalado, el cambio a n = 5 tiene prácticamente ningún efecto en absoluto en cualquiera de estos términos de la serie de Taylor. Creo que esta es una fascinante infinitamente diferenciable en ninguna parte función analítica.

{f=     0.698108332501131269345959
+x^ 1* -0.811483837735256689925511
+x^ 2*  0.564223607296152024212994
+x^ 3* -0.108713360197197249695425
+x^ 4*  0.0386545634563827924149361
+x^ 5* -0.0165764547202329162292425
+x^ 6* -0.136752426088883411516781
+x^ 7* -0.211624565156209581106389
+x^ 8*  0.756835546755967062843976
+x^ 9*  0.690325621331856063058907
+x^10* -5.14435389580661580579195
+x^11* -4.47947937782130852737809
+x^12*  32.5937752304652003488119
+x^13*  49.8669444598467536440491
+x^14* -167.436448420554441232387
+x^15* -496.152768269738246163963
+x^16*  443.431869230502056934185
+x^17*  3711.37945688838615014677
+x^18*  2906.96563801990937017428
+x^19* -17914.5512639999679052410
+x^20* -48878.6372819973401224653
}