Si se proyecta un rayo de luz en horizontal y se deja caer una piedra desde la misma altura, ¿se estrellarían ambos en el suelo al mismo tiempo?

Question

Si se proyecta un rayo de luz horizontalmente y, al mismo tiempo, se deja caer una piedra desde la misma altura, ¿caerán ambas en el suelo al mismo tiempo?

Por supuesto que en la Tierra no lo harían, pero imaginemos una masa de tierra lo suficientemente grande como para que la luz no se dispare al espacio y se aleje de la atracción de la gravedad de la tierra.

Answer 1

Dado que la piedra está en caída libre -es decir, en un fotograma que sigue una geodésica- tendría que observar la luz emitida en su fotograma como si se comportara normalmente. Esto significa que la piedra no observaría que la luz se desvía de una trayectoria radialmente hacia fuera de ella, lo que es una forma compleja de decir que debe golpear el suelo al mismo tiempo que la piedra.

En los comentarios anteriores, Floris mencionó cómo la desviación de la luz predicha por la RG es el doble de lo que uno espera de los cálculos newtonianos. Esto es cierto, pero se refiere a la desviación medida desde el marco de un observador no local. Así que un observador que estuviera en el suelo notaría la discrepancia en la desviación de la luz, pero la piedra no notaría nada, ya que es un observador local. Si la piedra viera que el fotón impacta en el suelo en un momento diferente al suyo, eso violaría el principio de equivalencia débil.

Answer 2

Incluso si simplemente se disparan dos bolas horizontalmente desde la misma altura inicial con diferentes velocidades horizontales (inferiores a la velocidad necesaria para escapar o ponerse en órbita), no es cierto que ambas golpeen el suelo al mismo tiempo si la distancia tangencial que recorre una de ellas es lo suficientemente grande como para tener en cuenta la curvatura de la Tierra. Basta con considerar el La bala de cañón de Newton experimento de pensamiento que he discutido en esta respuesta En la que imaginamos una bala de cañón disparada con una serie de velocidades crecientes que aumentan el tiempo que es capaz de permanecer por encima del suelo porque, aunque sigue acelerando hacia el centro de la Tierra a la misma velocidad, el suelo se aleja continuamente de él:

Si disparas una bala de cañón con una velocidad sólo El tiempo que tarda la luz en tocar el suelo es muy inferior al tiempo que tarda una órbita completa, y eso es mucho más que el tiempo que tarda una bala de cañón en tocar el suelo si se deja caer desde la misma altura con una velocidad tangencial nula. Así que, por analogía, si la luz recorre una trayectoria que se curva alrededor de una parte significativa de la circunferencia del horizonte de sucesos de un agujero negro antes de "golpearlo", estoy bastante seguro de que el tiempo podría ser mayor. Otra complicación es que en la relatividad general no está muy claro qué coordenada temporal debemos utilizar: en el caso newtoniano se supone que estamos utilizando la coordenada temporal de algún marco inercial, pero en la relatividad general sólo se pueden tener "marcos inerciales locales" definidos en vecindades muy pequeñas del espaciotiempo (véase el principio de equivalencia ), todos los sistemas de coordenadas que cubren grandes regiones de espaciotiempo curvo son no inerciales y la definición de simultaneidad en marcos no inerciales es básicamente una cuestión de elección arbitraria (aunque sigue habiendo un hecho objetivo independiente del marco sobre si un evento ocurre en el futuro cono de luz de otro, por lo que en algunos casos podría ser cierto que, debido a la forma en que la luz se curva alrededor del horizonte de sucesos antes de cruzarlo, el suceso de la luz que cruza el horizonte podría estar en el cono de luz futuro del suceso del otro objeto que lo cruza (aunque no estoy seguro de esto, tal vez alguien más pueda comentarlo).

Pero hay un caso especial que es más sencillo, aquel en el que la separación espaciotemporal entre el evento de la roca y el rayo de luz que se libera y el evento de que cruzan el horizonte es infinitesimal, por lo que todo el asunto puede ser observado desde la perspectiva del marco inercial local de un observador en caída libre (Jim puede haber asumido implícitamente este tipo de caso en su respuesta, no estoy seguro). Desde esta perspectiva, tanto la roca como el rayo de luz deberían moverse en línea recta en la dirección horizontal mientras el horizonte de sucesos se precipita hacia arriba para encontrarse con ellos a la velocidad de la luz (el horizonte de sucesos de un agujero negro es un superficie nula Por lo tanto, debe moverse a la velocidad de la luz en los marcos inerciales locales), y dado que ni la roca ni el rayo de luz tienen una componente vertical en su velocidad en este marco, el horizonte de sucesos debería golpear a ambos al mismo tiempo en las coordenadas de este marco.

Answer 3

No es por ser pedante, pero ¿cuál aterriza primero según quién ??? La simultaneidad es relativa para los eventos que no están en la misma posición, por lo que puedes comprobar que has soltado/brillado simultáneamente o el orden de aterrizaje (si lo configuras para que ambos aterricen en el mismo lugar), pero no ambos a menos que consigas que la luz se curve y aterrice "debajo" de donde partió. Por la forma en que has formulado la pregunta, me imagino una lámina de masa semi-infinita con un campo gravitatorio uniforme, por lo que esa curvatura no funcionará. Dado que al menos un par de sucesos para los que quieres comprobar el ordenamiento temporal/simultaneidad está espacialmente separado, el ordenamiento temporal cambiará dependiendo del observador al que preguntes.

Para un análisis de un observador que es interesante tener en cuenta, véase La respuesta de Jim .

Answer 4

Sin embargo, una masa de tierra lo suficientemente grande como para que la luz no se escape es una propuesta complicada. En efecto, se está pidiendo un agujero negro.

Y estoy especulando aquí, alguien más tendrá que comprobar las matemáticas, pero creo que la luz puede "orbitar" el agujero negro para siempre, exactamente en el horizonte de sucesos, mientras que un objeto masivo siempre caerá hacia dentro. Así que si su nivel de partida está por encima del horizonte de sucesos, la luz siempre escapa a la gravedad. Si el nivel de partida está exactamente en el horizonte y tu "suelo" está por debajo, yo diría que la piedra choca primero, la luz sigue sin hacerlo, pero tampoco escapa nunca.

Si la posición de partida está por debajo del horizonte de sucesos, no existe tal dirección geométrica que pueda llamarse "horizontal" - todas las direcciones posibles para el rayo de luz apuntan hacia dentro, y de hecho existe un marco de referencia en el que el rayo es en realidad directamente vertical, por lo que me parece que vencerá a la piedra... Al menos si se trata de una carrera hacia la propia singularidad. Si es hacia algún otro "suelo"... bueno... de la misma manera que no se puede hacer brillar la luz "horizontalmente", no se puede definir un "suelo" objetivo, o al menos no sería una superficie espacial, sino temporal, o un "momento", no un "lugar". Así que estoy totalmente confundido.

Sin embargo, es una buena pregunta, y algo en lo que debería pensar más.

Answer 5

Al mismo tiempo que escribo mi respuesta sobre los agujeros negros y otras tonterías, también intuyo que algo debe estar mal. Tiene que haber una forma de visualizar el principio de equivalencia que también se aplica a la luz y no debe implicar que caigamos en un agujero negro...

Si suponemos una gravedad uniforme y una superficie perfectamente plana, podemos disminuir la altura desde la que realizamos nuestro experimento para que el tiempo que tarda la piedra en caer sea cada vez menor, limitando así también lo lejos que puede llegar la luz, por lo que obviamente no necesitamos una superficie tan enorme como para crear un agujero negro o incluso hacer evidente su curvatura...

Bueno, parece que tenemos que ser muy precisos, pero de todos modos es un experimento mental, así que ¿por qué no?

Un micrometro de altura nos da una distancia de 135 km, un nanometro la reduce a 4,3 km ( ver fórmula ).

(Puedes jugar con el cálculo en google :p o quizás en wolfram alpha si eres menos vago que yo).

Esas distancias pueden parecer pequeñas, pero la curvatura de un planeta sobre ellas sigue siendo enorme... el desplazamiento vertical de nuestro "suelo" si no fuera plano sino que tuviera un radio como el de nuestra tierra a esos 4,3 km de distancia para la prueba de altura nanométrica es de casi 3 metros. ( ver fórmula )

Al final, si tuviéramos alguna superficie superplana y un campo gravitatorio superuniforme de modo que pareciera que fuera perpendicular a ella en una longitud suficiente, supongo que podríamos ver un rayo de luz cayendo a la superficie igual que una piedra. Pero entonces también podríamos decir que tenemos una fuente de gravedad infinitamente masiva a una distancia infinita de nosotros, o quién sabe qué... ¿es igual que si estuviéramos en el horizonte de sucesos de un agujero negro?

Nunca imaginé que un experimento mental pudiera fallar, pero aquí estamos, amigos.