Esto definitivamente no es para todos irracional o trascendental números. Como se señaló en los comentarios por Fabian, varios números de Liouville vienen a la mente como ejemplos en donde los dígitos del número no son distribuidos de manera uniforme, sin embargo, estos números fueron construidos con la intención específica de ser trascendental.
La propiedad que se refieren a este "equidistribución de los dígitos" y tal es lo que define la denominada simplemente normal números en base $10$. Si usted ha oído $\pi$ presenta este muy de propiedad, es técnicamente incorrecto, porque hasta ahora $\pi$ no ha sido demostrado ser simplemente normal en cualquier base. La sospecha de ser simplemente normal en cada base, e incluso (absolutamente) normal en cada base, pero sigue siendo un problema abierto.
Simple normalidad en base $b$ significa que la frecuencia de cada dígito en el primer $n$ dígitos tiende a $1/b$ como $n$ tiende a infinito. Normalidad en base $b$ significa que por cada finito de dígitos de la secuencia de longitud $k$, su frecuencia en el primer $n$ dígitos tiende a $1/b^k$ como $n$ tiende a infinito.
De hecho, parece más bien rebuscada números, tales como $0.123456789101112...$ (Champernowne del número, que se obtiene por la concatenación de los naturales), entre otros, en el artículo, se sabe con certeza que es simplemente normal en base $10$, y de hecho es normal en base $10$ (pero no se conoce aún a ser simplemente normal en otras bases que no son potencias de $10$). Nada se sabe acerca de un montón de los más "natural" de los números - como $\pi,e,\sqrt 2$. Pero supongo que Chaitin constante podría ser considerado un "natural", y es normal que en cada base.
Trivialmente, sabemos que casi todos los números reales son normales en cada base, equivalente a un número real dibujado uniformemente al azar de $[0,1]$ es normal, con una probabilidad de $1$.
Como para como para demostrar que para el común de los números? Así, la prueba para que la constante de Chaitin (resumen en Matemáticas Desbordamiento del post) se basa en su aleatoriedad algorítmica, que es en realidad mucho más fuerte forma de normalidad. Aproximadamente, la normalidad en base $b$ dice que cada finito de dígitos de la secuencia de longitud $k$ tiene frecuencia en la primera $n$ dígitos tiende a $b^{-k}$ como $n$ tiende a infinito, mientras que la aleatoriedad algorítmica dice que hay una constante $c$ tal que para cada a$n$ la más corta del programa (en algunos prefijo libre de codificación) que las salidas de la primera $n$ bits ha bits de longitud, al menos, $n-c$, lo que intuitivamente significa incompresible a una constante. Tenga en cuenta que si un número no era normal, que puede ser comprimido utilizando la codificación aritmética. Por otro lado, Champernowne es constante, es un ejemplo muy claro de un altamente compresibles (por lo que no a través de algoritmos aleatorios), pero el número normal, ya que la primera $n$ bits, obviamente, puede ser la salida de un programa fijo de ejecución en $n$ (que puede ser almacenado en $O(\log n)$ bits de prefijo libre de codificación).
Desde $\pi$'s dígitos no siguen algún patrón agradable como el número de Champernowne, ni son de algoritmos aleatorios, es poco probable que la normalidad de las pruebas para conocer la cantidad normal daría tanta pista para $\pi$. Hasta el momento, al menos.
Por supuesto, esto plantea la pregunta de "¿por qué nos conjetura a ser normal?" La evidencia empírica basada en la primera billones de dígitos de $\pi$ do 'apoyo', pero por supuesto que está en ninguna parte cerca de la prueba. Es como si usted lanza una moneda $1000000$ veces y observe $500469$ jefes y $499531$ colas, y a la conclusión de que no tiene evidencia de que es no una feria de memoryless de la moneda, ya que el número de cabezas para una feria memoryless de la moneda estaría en el rango $[499500,500500]$ con probabilidad acerca de la $1/2$. De su observación se cuentan como evidencia empírica de que es una feria de memoryless de la moneda? En realidad no... Falta de pruebas en contra, no es realmente la evidencia. Del mismo modo, que es todo lo que tenemos para la cuestión de la $\pi$'s de la normalidad, hasta el momento.
También, la evidencia empírica es muy difícil de interpretar. De nuevo tomar el ejemplo de la moneda, y supongamos que observar exactamente $500000$ jefes y $500000$ colas. ¿Crees que es un memoryless de la moneda? No! Cómo acerca de $500001$ jefes y $499999$ colas?
