Freaky puntos en el plano complejo.

Question

Contexto:

Hace poco vi el usuario @David's de la foto de perfil y descripción:

"Mi icono es la representación gráfica de la suma exponencial $$\sum_{n=1}^{10620}e^{2\pi if(n)}$$ para $$f(n)=\frac{n}{20}+\frac{n^2}{9}+\frac{n^3}{59}\ ,$$ donde el "gráfico" de una exponencial suma significa que la secuencia de sumas parciales, graficada en el plano complejo, con sucesivos puntos unidos por segmentos de línea recta."

Esto me intrigó, así que me decidí a investigar. Mis conclusiones y preguntas que están a continuación.

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La reproducción de la misma en Desmo: (para los interesados)

Yo la primera vez que decidió recrear la imagen en Desmo. Se puede ver aquí (va a tardar un poco en cargar).

He creado la imagen mediante la definición de $f(x)$ como se define arriba, a continuación, configuración de $$ x_2(x)=\sum_{k=1}^{x}\cos(2\pi f(k))\\ y_2(x)=\sum_{k=1}^{x}\sin(2\pi f(k))\\ p(x)=(x_2(x),y_2(x)) $$ De modo que $p(x)$ fue esencialmente $\sum_{k=1}^{x}e^{2\pi i f(k)}$. Luego he definido las listas $$\begin{align} I_1&=[1,2,\dots,1000]\\ I_2&=[1001,1002,\dots,2000]\\ \dots &\dots\\ I_{10}&=[9001,9002,\dots,10000] \end{align}$$ Luego de entrar a $p(I_{1}),\ p(I_2),\ \text{etc.}$ dio un montón ($10000$ , para ser exactos) de los puntos. Luego de hacer clic en el pequeño símbolo del engranaje y, a continuación, el círculo de color al lado de cada entrada (a la izquierda) que era capaz de conectar los puntos de $p(i)$ e $p(i+1)$ para cualquier entero $1\leq i\leq 9999$. He utilizado el $10$ diferentes listas en lugar de $1$ en el fin de mantener Desmo de los estribos.

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Mis investigaciones:

También el uso de Desmo y la misma técnica descrita anteriormente, he decidido crear los gráficos correspondientes a las funciones de $$H_n(x)=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\dots+\frac{x^n}n\qquad (n>1)$$ es decir, he hecho los gráficos de $$p(k)=\left(\sum_{r=1}^{k}\cos[2\pi H_n(r)],\sum_{r=1}^{k}\sin[2\pi H_n(r)]\right)$$ He hecho cada secuencia/gráfico ha $700$ puntos (AKA me gráficamente $p([1,2,...,700])$) sólo para ver si cualquier comportamiento irregular comenzado a ocurrir. Aquí están los gráficos de la primera $6$ valores de $n$.

$n=2$:

$n=3$:

$n=4$:

$n=5$: No sé cómo de bien se lo puede ver, pero los puntos están empezando a moverse un poco. Esta es una foto de la $n=5$ gráfico cuando me zoom en una de las esquinas:

$n=6$: Huelga decir que el efecto ondulante ha sido amplificado. Para la comparación, aquí está la $n=6$ gráfico de $p([1,2,...,31])$:

$n=7$: Que está muy lejos de que se porten bien. Creo que su 'supuesta' a buscar algo así como la gráfica de $p([1,2,...,105])$: A pesar de que tiene algunos drifty buscando puntos.

Usted puede mirar más de estos gráficos cambiando el valor de $n$ en este gráfico.

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Preguntas:

En este punto estoy bastante seguro de que el comportamiento extraño (como se ha demostrado en los casos $n=5,6,7$) puede atribuirse a la acumulación de imprecisiones numéricas de Desmo. Por ejemplo, Wolfram evalúa $$A=\sum_{r=1}^{700}\exp[2i\pi H_{7}(r)]$$ como $$A= -11.470821630307989891763598910658573978486117477630759175... - 3.6768673678262517039383839969453158461799151084757854088... me$$ (y proporciona una monstruosa forma cerrada. Mientras que Desmo pone la suma a la muy incorrecto $$1.3535617164+9.88880050357i$$ Yo hice el mismo tipo de prueba con $B=\sum_{r=1}^{20}\exp[2i\pi H_5(r)]$ Wolfram y dio $$B=-6.3944653536668510841041628532095052345320229467766883302... + 1.0127838162151622424794134150036094634983505690619992502... me$$ Y Desmo dio $$-6.39446535424+1.01278381623i$$ Cual es evidencia concluyente de que Desmo se vuelve menos precisa como $n$ e $x$ más grandes.

Ese fue el tema de mi pregunta original, pero parece haber sido resuelto ahora.

Así que mi pregunta es ¿cómo podemos encontrar una fórmula general para $\pi_n\in\Bbb N$ tales que $$\forall k\in\Bbb N,\quad f_n(k+\pi_n)=f_n(k)$$ donde $$f_n(k)=\sum_{\ell=1}^{k}\exp[2i\pi H_n(\ell)]$$ Me encontré con el primer par de valores: $$\pi_2=2\\ \pi_3=6\\ \pi_4=6\\ \pi_5=30\\ \pi_6=30$$ Pero tiene que haber alguna otra manera de hacer esto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Si nos centramos en la ecuación $$ f(k)=\sum_{i=1}^k e^{\algebra 2 \pi H(l)} $$ para algunos la función de $H(x)$ y la búsqueda de un entero $\Delta$ tales que $$ \forall k \in \mathbb{N} \qquad f(k+\Delta) = f(k), $$ nos encontramos \begin{eqnarray} 0 & = & \left[ f(k+1+\Delta) - f(k+1) \right] - \left[f(k+\Delta) - f(k) \right]\\ & = & \left[ f(k+1+\Delta) - f(k+\Delta) \right] - \left[f(k+1) - f(k) \right]\\ & = & e^{\imath 2 \pi H(k+1+\Delta)} - e^{\imath 2 \pi H(k+1)} \end{eqnarray} Por lo tanto, nos encontramos con que el problema se reduce a encontrar un entero $\Delta$ tales que $$ \forall k \in \mathbb{N} \qquad H(k+\Delta) - H(k) \in \mathbb{Z}. $$ Si nos limitamos a $H(x)$ ser un polinomio de grado $n$ con coeficientes racionales, puede ser formulado como: $$ H(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^n a_i x^i, $$ para algunos $N,a_i \in \mathbb{Z}$ y no hay ningún divisor común en el conjunto de la $\{a_i\}$. De ello se sigue que \begin{eqnarray} H(k+\pi) - H(k) & = & \frac{1}{N} \sum_{i=0}^n a_i \left[(\Delta+k)^i - k^i \right]\\ & = & \frac{1}{N} \sum_{i=0}^n a_i \sum_{j=1}^i \binom{i}{j} \Delta^j k^{i-j}\\ & = & \frac{\Delta}{N} \sum_{i=0}^n a_i \sum_{j=0}^{i-1} \binom{i}{j+1} \Delta^j k^{i-j-1} \in \mathbb{Z} \qquad (*) \end{eqnarray} y de ahí que el denominador $N$ de los racionales polinómicas $H(x)$ es una solución correcta para $\Delta$.

Nota, sin embargo, que $N$ no es necesariamente la más pequeña solución para $\Delta$, pero que los más pequeños de la solución para $\Delta$ tendrá que ser un divisor de a$N$. De hecho, la serie de polinomio $H_n(x)=\sum_i \frac{x^i}{i}$ tendría la correspondiente denominadores $N_n=2,6,12,60,60,\dots$ para $n \geq 2$ y el OP ya establecido que no son más pequeñas soluciones.

Encontrar los más pequeños de soluciones de $\Delta$ es relativamente sencillo, ya que simplemente se puede comprobar la validez de $(*)$ para todos los $k$ por el deslinde respectivo (prime)factores de $d$ de $N$, es decir, si $N = d \Delta$ que $(*)$ requiere que $$ \sum_{i=0}^n a_i \sum_{j=0}^{i-1} \binom{i}{j+1} \Delta^j k^{i-j-1} \equiv 0 \mod d \qquad \forall k \in \mathbb{N} $$ para lo cual es suficiente para comprobar los valores de $0 \leq k < d$.