Probar que el límite existe y luego encontrar su límite.

Question

Se nos da una función$h(x)$ que es estrictamente positiva. La función$h$ se define en$\mathbb{R}$ y cumple con lo siguiente: \

PS

La pregunta es probar que el límite de$$\lim_{x\to 0}(h(x)+\frac{1}{h(x)})=2$existe en$h$y luego encontrar su límite como$ 0$

Si asumimos que el límite existe (digamos que es igual a$x\to 0$, entonces tenemos$\lambda$ y al resolver esta ecuación, obtenemos$\lambda+\frac{1}{\lambda}=2$. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo demostrarlo). la existencia del límite de$\lambda=1$ cuando$h(x)$.

Answer 1

Tenemos$h(x) +\dfrac 1{h(x)} \to 2$, así que $$f(x) :=h(x) +\dfrac 1{h(x)}-2=\frac{h(x)^2 -2h(x) + 1}{h(x)}=\frac{(h(x) - 1)^2}{h(x)}\to 0$$ as $x \ a 0$.

Demuestre que para$x$ suficientemente pequeño$h(x)$, tenemos$\frac12<h(x) < 2$ (cualquier límite superior funcionará). Entonces$$f(x)>\frac12\big(h(x)-1\big)^2

Ahora, ¿puedes usar el teorema de compresión para derivar el resultado?

Answer 2

Supongamos que hay una secuencia $(x_n)$ tal que $x_n \to 0$ pero $h(x_n) \to 1$ no es cierto.

Luego hay un $\delta > 0$ tal que, o bien,

a) $h(x_n) > 1 + \delta$ infinitamente muchos de los valores de $n$o,

b) $0 < h(x_n) < \dfrac{1}{1+\delta}$ infinitamente muchos los valores de n.

Si b) posee asumir (por la elección de una larga si es necesario) que $0 < h(x_n) < \dfrac{1}{1+\delta}$ todos los $n$.

El acotamiento de $h(x_n)$ implica que podemos encontrar una larga $(y_n)$ $(x_n)$ tal que $\lim h(y_n) = L$ existe y $0 \leq L \leq \dfrac{1}{1+\delta} < 1$.

$L \neq 0$ 0 límite que se contradicen $h(y_n) + \dfrac{1}{h(y_n)} \to 2$ consecuencia de la condición dada.

Pero esto implica $\dfrac{1}{h(y_n)}$ también converge a$\dfrac{1}{L}$$L + \dfrac{1}{L} = 2$$L = 1$, una contradicción a $L < 1$.

Si $h(x_n) > 1 + \delta$ infinitamente a menudo, a continuación, $0 < \dfrac{1}{h(x_n)} < 1/(1+\delta)$ infinitamente a menudo, y el argumento procede de manera similar para obtener una contradicción.

Por lo tanto, para cualquier $x_n \to 0$ $h(x_n) \to 1$, por lo tanto $\lim h(x) = 1$ $x \to 0.$

Answer 3

Dejar $g(x)=\sqrt{h(x)}$. Tenemos$$h(x)-\frac{1}{h(x)}-2=\left(g(x)-\frac{1}{g(x)}\right)^2.

Esto tiene un límite$0$, así que$g(x)-\frac{1}{g(x)}$ tiene un límite$0$. Mostramos que$g(x)$ tiene un límite$1$. Tenga en cuenta que$|g(x)|$ está delimitado arriba, por lo que$g^2(x)-1$ tiene límite$0$. Como$g(x)+1\gt 1$, se deduce que$g(x)-1$ tiene un límite de$0$.

Answer 4

Deje $g(x) = x + x^{-1}$. A continuación, el límite de

$$\lim_{x \to 0} g(h(x)) = 2$$

$g$ no es una función invertible: por cada punto de $a \in (2, \infty)$ hay dos soluciones a $g(x) = a$. Pero en cierto sentido es un continuo de dos valores de 'función': si dejo $f^+$ $f_-$ ser la más grande y la más pequeña de las dos soluciones, entonces ambas son funciones continuas:

$$\lim_{x \to 0} f_+(g(h(x))) = f_+(2) = 1$$ $$\lim_{x \to 0} f_-(g(h(x))) = f_-(2) = 1$$

Así que, en cierto sentido, se debe ser capaz de decir

$$\lim_{x \to 0} g^{-1}(g(h(x)) = g^{-1}(2) = \{1\}$$ $$\lim_{x \to 0} \{ h(x), h(x)^{-1} \} = \{1\}$$

y ya que acaba de obtener un punto límite, los límites individuales debería existir (es decir,$h(x) \to 1$). Todo lo que queda es encontrar una manera de hacer precisamente declaración que capta esta idea y, a continuación, probar el teorema diciendo que podemos encontrar límites como esta. Esto es un poquito de trabajo, pero una buena idea en el largo plazo, ya que nos da una nueva herramienta útil para lidiar con más problemas!

Answer 5

Tenga en cuenta que si$h(x)$ o$\frac{1}{h(x)}$ no está delimitado en$(-\varepsilon, \varepsilon)$, entonces el límite original no puede existir. Usaremos esa propiedad aún más, refiriéndola como$(*)$

PS

Lo que significa que$$\lim_{x\to 0}\left(h(x) + \frac{1}{h(x)}\right) = 2 \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}\left(h(x) -2 + \frac{1}{h(x)}\right) = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}\left(\sqrt{h(x)} - \frac{1}{\sqrt{h(x)}}\right)^2 = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}\left(\frac{h(x) - 1}{\sqrt{h(x)}}\right)^2 = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}\frac{(h(x) - 1)^2}{h(x)} = 0 \stackrel{(*)}{\Rightarrow} \lim_{x\to 0}(h(x)-1)^2 = 0