¿$A$ Conmuta con$e^{\int A \: dt}$

Question

He estado estudiando el sistema lineal de la forma:

$$D_tX = AX + \textbf{b}$$

Donde $A$ no es necesariamente constante

Supongamos que nuestro objetivo es encontrar un factor de integración $M$ tal forma que:

$$M[D_tX - AX] = D_t(MX)$$

Esto nos da:

$$MD_tX - MAX = (D_tM)X + M(D_tX)$$

Por igualando coeficientes se tiene:

$$D_tM = -MA$$

La solución de este da:

$$M = e^{-\int A \: dt}$$

Pero

$$D_t(e^{-\int{A} \: dt}) = -Ae^{-\int{A} \: dt} = -AM$$

Por lo que podemos concluir que estos dos matrices de viaje?

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He comprobado que

$$AM = MA$$

si y sólo si

$$A\left(\int{A} \: dt \right ) = \left (\int{A} \: dt \right ) A$$

edit 2

Después de examinar la cuestión, parece ser que para los no-constante de matrices

$$D_te^{A(t)} \neq \left ( D_tA(t) \right ) e^{A(t)}$$

se puede encontrar más información aquí

Answer 1

Deje$$M = \left(e^{-\int A^T\, dt}\right)^T

Entonces$$D_t M = \left(D_t e^{-\int A^T\, dt}\right)^T = \left(-A^Te^{-\int A^T\, dt}\right)^T = \left(-A^TM^T\right)^T = -MA