¿Qué tienen que ver con este problema adjoints?

Question

Pregunta: Deje $V\ $ ser el espacio vectorial de los polinomios de más de $\mathbf{R}$ de grado menor o igual a 3, con el producto interior $$ (f|g) = \int_0^1 f(t)g(t) dt. $$ Si $t$ es un número real, encontrar el polinomio $g_t$ $V$ tal que $(f|g_t) = f(t)$ todos los $f$$V$.

Mi Intento: La manera en que yo pensaba hacer era, deje $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$$g_t(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3$. $$(f|g_t) = \sum_{j, k} \frac{1}{1 + j + k} a_j b_k $$

Desde $(f|g_t) = f(t)$, I se $$t^j = \sum_k \frac{1}{1 + j + k}b_k.$$

Deje $A$ ser la matriz $A_{kj} = \frac{1}{1 + j + k}$, por lo que $$ (b_0, b_1, b_2, b_3)A = (1, t, t^2, t^3) $$

Así $$(b_0, b_1, b_2, b_3) = (1, t, t^2, t^3)A^{-1}.$$

Puedo calcular $A^{-1}$ y que me daría la respuesta, creo, pero parece como un montón de trabajo, y yo no iba a estar usando cualquiera de la información de este capítulo para resolverlo. Estoy asumiendo que hay una manera mucho más fácil de hacer esto.

El capítulo se llama "Lineal Funcionales y Adjoints" de Álgebra Lineal por Hoffman y Kunze.

EDIT: creo que la forma en que el capítulo me quería hacer esto es la siguiente.

Encontrar un ortonormales y sobre la base de Gram Schmidt, decir $f_1, f_2, f_3, f_4$. A continuación, vamos a $L_t(f) = f(t)$.

Podemos entonces vamos a $$g_t = L_t(f_1)f_1 + L_t(f_2)f_2 + L_t(f_3)f_3 + L_t(f_4)f_4.$$

Entonces decir $f = a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3 + a_4f_4$.

$$ \begin{align*} (f| g_t) &= a_1L_t(f_1)(f_1| f_1) + a_2L_t(f_2)(f_2| f_2) + a_3L_t(f_3)(f_3| f_3) + a_4L_t(f_4)(f_4| f_4) \\ &= L_t(a_1f_1 + a_2f_2 + a_3f_3 + a_4f_4) = L_t(f) = f(t). \end{align*}$$

El cálculo es aún más de lo que yo quiero hacer, pero las ideas son todo lo que hay. Supongo que esto estaba más centrado en el lineal de la parte funcional del capítulo, en lugar de la adjoint parte.

Answer 1

Esta es una aplicación clásica de la Representación de Riesz Teorema en un número finito de ajuste dimensional. Para mayor claridad, vamos a reformular el teorema en este contexto. (De Google para obtener más general de las versiones.)

Representación De Riesz Teorema: Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ser un producto interior en $V$. A continuación, para cada funcional lineal $\ell:V\to\mathbb{R}$, no hay una única $g_\ell\in V$ tal que $\ell(f)=\langle f,g_\ell\rangle$ todos los $f\in V$.

En otras palabras, bajo ciertos supuestos, cada funcional lineal puede ser "representado" (exclusivamente) como un producto interior de la entrada en contra de algunos "especiales" (pero fijo) miembro de $V$.

En su problema, $V=\mathbb{P}_3$, tenemos la norma (real) producto interior, y usted está buscando para la Riesz "representante" $g_\ell$ para el llamado de evaluación funcional dado por $\ell(f):=f(t_0)$ donde $t_0\in[0,1]$ es arbitrario pero fijo.

Entonces, ¿cómo podemos determinar el único Riesz representante $g_\ell$? Para contestar a esta pregunta, vamos a $\{e_1,\dots,e_n\}$ ser un ortonormales base para $V$. (Por ejemplo, elija su favorito base para $V$, luego de Gram-Schmidt para obtener una ortonormales .)

Reclamo: $g_\ell=\sum_{i=1}^n \ell(e_i)e_i$ es el (único) de Riesz representante para el funcional lineal $\ell$, es decir, $\ell(f)=\langle f,g_\ell \rangle$ todos los $f\in V$.

Para comprobar la reclamación, vamos a $f\in V$. Entonces podemos escribir $f=\sum_{i=1}^n c_ie_i$ $$\langle f,g_\ell\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n c_i e_i,\sum_{i=1}^n \ell(e_i)e_i\right\rangle= \sum_{i=1}^n c_i \ell(e_i)\langle e_i,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n c_i \ell(e_i) = \ell\left(\sum_{i=1}^n c_ie_i\right) = \ell(f).$ $ (voy a dejar de unicidad).

De nuevo, para llevar a todos de regreso a su contexto particular, se necesita una base ortonormales para $\mathbb{P}_3$ (por ejemplo, el desplazado polinomios de Legendre) y la necesidad de reconocer que el particular funcional en su pregunta es, de hecho, la evaluación funcional.

Espero que ayude.