Demostrando el teorema del valor intermedio usando el teorema de Darboux

Question

Estoy estudiando para un final y han sido la solución de problemas extra en Spivak del Cálculo. Sin embargo, no estoy seguro de cómo escribir la prueba de una estrella del problema en el Capítulo 14: Teorema Fundamental del Cálculo.

Lee:

Utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo y el Teorema de Darboux para dar una prueba del Teorema del Valor Intermedio.

Creo que tengo la idea, pero me parece que no puede formular en una rigurosa prueba formal. Básicamente, lo que tengo en mente es dejar que los $F$ ser una función tal que $F'=f$, y la aplicación de Darboux del thoerem en $F$. Luego por la FTC, tenemos el IVT??

Answer 1

Sea$a\lt b$,$f:[a,b]\to \mathbb{R}$, continuo. Deje$[x_1, x_2]\subset (a,b)$, deje$c$ entre$f(x_1)$ y$f(x_2)$, wlog$f(x_1)\lt c\lt f(x_2)$. Por la FTC, esto dice que$$F'(x_1)\lt c\lt F'(x_2),$ $ donde$F:[a,b]\to\mathbb{R}:x\mapsto \int_a^x f(t) dt$. Según el teorema de Darboux$F'$ debe satisfacer la propiedad de valores intermedios, entonces existe$u\in (x_1,x_2)$ tal que$F'(u)=c$, es decir,$f(u)=c$.