La concurrencia de ángulo bisector, mediana y altitud en un triángulo agudo

Question

$ABC$ es un triángulo agudo. El ángulo bisector$AD$, la mediana$BE$ y la altitud$CF$ son concurrentes. Demuestre que el ángulo$A$ es más que$45$ grados. Aquí$D,E,F$ son puntos en$BC,CA,AB$ respectivamente.

Esta pregunta se formuló en el 4º Concurso de Matemáticas de la Unión Soviética en 1970 y la redacción del problema es la misma.

Answer 1

Del teorema de Trig Ceva se deduce que:$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}=1\tag{1}$ $ debe mantenerse, o:$$\frac{b \cos A}{a \cos B}\cdot\frac{c}{b}=1,\tag{2}$ $

PS

Ya que$$\cot A\cdot\frac{\sin C}{\sin(\pi/2-B)}=\cot A\cdot\frac{\sin\widehat{ACB}}{\sin\widehat{FCB}}=1\tag{3}.$,$\widehat{ACB}>\widehat{FCB}$ debe mantenerse, entonces:

PS

(Gracias a @Blue)

Answer 2

Una prueba de coordenadas: $A=(0,0),F=(1,0),C=(1,t).$ $E=(1/2,t/2),$ y dejar que la concurrencia punto de ser $P$, y deje $h=AC=\sqrt{1+t^2}.$ $AC/AF=PC/PF,$ un hecho acerca de las bisectrices de un ángulo, podemos calcular el $P=(1,c/(1+h)).$ Finalmente, $B$ es en el $x$ eje en la línea $EP$ lo cruza, y nos encontramos con $B=(h/(h-1),0).$ Estamos para mostrar la reclamación: si $t \le 1$ entonces el triángulo es obtusángulo, es decir, el ángulo en el $C$ es de más de 90. [Este es el contrapositivo a decir: Si el triángulo es acutángulo, entonces el ángulo a $A$ está a menos de 45.]

Ahora comenzar por señalar que para $t=1$ obtenemos $B=(2+\sqrt{2},0)$$t=1$, por lo que obtenemos un triángulo obtusángulo [ángulo en el $C$ >90] ya que en este caso triángulo $AFC$ es equilátero triángulo rectángulo pero triángulo $BFC$ $BF>FC.$

La próxima nota de que, como $t$ es la disminución de $1$ hacia $0$ el ángulo de $ACF$ va en aumento, y también, debido a que la longitud $BF$ también está aumentando (la derivada de $h/(h-1)$ es negativo y estamos disminuyendo el parámetro de $t$), el ángulo de $FCB$ es cada vez mayor. La combinación de estos nos encontramos con que el ángulo de $ACB$, que ya era obtuso en el $t=1$ de los casos, se vuelve aún más obtuso como $t$ disminuye hacia la $0$.

(Distinto de cálculo) acabado argumento: Suponiendo que el ángulo de $A=CAF$ $\le 45,$ tenemos el ángulo $ACF \ge 45,$ $h=AC\le\sqrt{2}.$ También, la longitud de la $FB$ es estrictamente mayor que $1$ si y sólo si $h/(h-1) > 2.$ Utilizando sólo el álgebra, $h/(h-1) > 2$ es equivalente a $h < 2,$, de modo que ya en el hecho de que contamos $h \le \sqrt{2}$ se deduce que el %de$h <2 $al finalizar el argumento, ya tenemos el ángulo de $FCB$ estrictamente mayor de 45 años, que con el otro ángulo de $FCA$ es de al menos 45 hace que el ángulo de $ACB$ más de 90, y el triángulo es obtusángulo más que aguda.