$\sin(nx)$ no contiene la subsecuencia de Cauchy en $L^p([0,2\pi]) $ para $1\leq p < \infty$

Question

$\sin(nx)$ no contiene la subsecuencia de Cauchy en $L^p([0,2\pi]) $ para $1\leq p < \infty$

Mi intento:

Set $f_n(x) = \sin(nx)$ .

Argumento por contradicción, supongamos que existe una subsecuencia de Cauchy $f_{n_k}$ en $L^p$ para algunos fijos $p$ entonces $f_{n_k}$ converge fuertemente a algún $f \in L^p$ , este $f$ debe ser la función cero ya que sabemos que $f_{n_k}$ converge débilmente a cero en $L^p$ .

Pero $f\equiv 0$ es imposible ya que $||f_{n_k}||_p$ está limitada por debajo por un número positivo. Para ver esto, miramos la preimagen $$\{{|f_{n_k}|}^p \geq \big( \frac{\sqrt 2}{2}\big)^p \} = \{{|f_{n_k}|}\geq \frac{\sqrt 2}{2} \} $$ la medida de este conjunto está limitada a continuación por $\pi$ . Por la desigualdad de Chebyshev ${||f_{n_k}||_p}^p$ está limitada por debajo por $\pi\big( \frac{\sqrt 2}{2}\big)^p $ .

¿Está bien? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Tu argumento está bien. También puedes hacer una variante directa como ésta. Si $\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ fuera una secuencia de Cauchy, entonces $\lim_{k \rightarrow 0} ||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_{L^p[0,2\pi]}$ sería cero. Pero por la desigualdad de Holder $$\int_0^{2\pi}|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|^2 \leq||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_{L^p[0,2\pi]}\,\,\,\,||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_{L^{p'}[0,2\pi]}$$ Pero $||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_{L^{p'}[0,2\pi]}$ está limitada por una constante fija $C$ simplemente tomando valores absolutos del integrando e integrando. Así que tienes $$\int_0^{2\pi}|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|^2 \leq C||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_{L^p[0,2\pi]}$$ Tomando los límites como $k \rightarrow \infty$ da cero en el lado derecho, pero se puede calcular directamente la integral de la izquierda para que sea $2\pi$ para todos $k$ , dando lugar a una contradicción.

Answer 2

Los argumentos dados son buenos. Estoy de acuerdo con Golbez, el hecho de que si $(f_{n_k})_k$ convergen débilmente a algo, entonces convergen a $0$ tiene que ser detallado, por ejemplo notando que $\int_{[0,2\pi]} f_{n_k}g\mathrm d\lambda\to 0$ para cada función continua $g$ y concluyendo con un argumento de densidad.