Agregando una matriz semidefinita positiva a una matriz cuadrada

Question

¿Se puede encontrar un poco de matriz cuadrada$A$ y una matriz semidefinita cuadrada positiva$B$, de modo que el mayor valor propio de$C=A+B$ sea más pequeño que el mayor valor propio de$A$?

Answer 1

Sí, aquí es un ejemplo al azar: $$ A = \pmatrix{-2&1\\ -1&1}, \ B = \pmatrix{ 1&0\\ 0&0}, \ C = a+B = \pmatrix{-1&1\\ -1&1}. $$ Como $\det(A)$ es negativo, $A$ tiene un autovalor positivo y un negativo autovalor. Sin embargo, el polinomio característico de a$C$$x^2-\operatorname{tr}(C)x+\det(C)=x^2$. Por lo tanto ambos autovalores de a $C$ cero (y $C$ es similar a la de un bloque de Jordan de tamaño 2). Así, el mayor autovalor de a $C$ es estrictamente menor que el mayor autovalor de a $A$, independientemente de que sea "más grande" significa "máximo" (es decir, la más positivo) o "mayor tamaño".