Matemáticas autodidactas, con preguntas sobre la teoría de categorías

Question

Entiendo que es una pregunta que se ha hecho probablemente cientos de veces. Lo pregunto de nuevo porque tengo un conjunto específico de circunstancias que podrían utilizar una respuesta un poco más específica.

Lo siento si rompe las reglas o algo así, esto es algo que me ayudaría, creo.

Básicamente, la última clase de matemáticas que tomé fue Cálculo en la secundaria. Eso fue hace 10 años. He mirado los siguientes temas y los encuentro interesantes, pero a veces siento que no puedo entrar en ninguno de ellos porque siempre siento que de alguna manera me falta conocimiento de otro campo, o algo así. Mis intereses específicos son los siguientes:

-Teoría de la categoría

-álgebra abstracta

-Probabilidad

-análisis

-Chaos

-el libro Matemáticas concretas

He recogido algunas de estas cosas y me encuentro básicamente capaz de comprender la teoría de conjuntos y mirar los problemas, sin embargo OFTEN hay conceptos que vienen con nombres extraños donde me siento completamente perdido.

¿Es posible aprender la teoría de categorías sin hacer primero un análisis o sin tener un amplio conocimiento de otros campos de las matemáticas? Simplemente no entiendo cómo dibujar este camino para mí mismo.

Answer 1

La teoría de categorías es un lenguaje abstracto que involucra "objetos" y "flechas". Hay muchos ejemplos de categorías, pero como los conjuntos son objetos muy básicos de las matemáticas, y como usted ha escrito que ha aprendido algo de teoría de conjuntos por sí mismo, podría mencionar la categoría de conjuntos: Aquí los "objetos" son conjuntos y las "flechas" son funciones entre conjuntos. Así que creo que sería muy bueno estar muy familiarizado y, más importante aún, muy cómodo con la notación como

$f:X \rightarrow Y$

También mencionó el análisis en su pregunta. Me gustaría señalar que el análisis podría ser pensado como una forma avanzada de cálculo, y podría no encajar con el resto de sus intereses en la lógica y la programación. Sin embargo, si estos son sus intereses, me gustaría recomendar el libro Topología por Munkres. El primer capítulo enseña la teoría de conjuntos y luego te lleva a la topología de conjuntos de puntos, que forma la base del análisis. También encuentro que es útil para acostumbrarse al nivel de abstracción usado en matemáticas de nivel superior. Cuando uno se siente cómodo con esto, un buen libro sobre la teoría de categorías es Matemáticas conceptuales por Lawvere. Nótese que la topología de puntos en sí misma no es necesaria para empezar a aprender la teoría de categorías, pero lo importante es acostumbrarse al nivel de abstracción. Si quieres puedes probar primero las Matemáticas Conceptuales y luego retroceder si te encuentras con dificultades.