Tengo la siguiente ecuación diferencial:$2\frac{d^2\phi}{d^2\zeta}=e^{-\phi}$, donde $\phi=\Phi/\sigma_z^2$, $\zeta=z/z_0$. Tengo también el hecho de que $ln(\rho/\rho_0)=-\Phi/\sigma_z^2$. Dadas las condiciones de contorno $\phi(0)=0=\frac{d\phi}{d\zeta}\big{|}_0$, tenemos que mostrar que la solución es $\rho(z)=\rho_0sech^2(\frac{z}{2z_0})$. Os muestro a continuación lo que parece ser el método correcto, pero no puedo reproducir el citado respuesta:
$$\frac{d^2\phi}{d^2\zeta}=\frac{e^{-\phi}}{2}$$
$$\frac{d\phi}{d\zeta}-\frac{d\phi}{d\zeta}{|}_0=\frac{e^{-\phi}}{2}\zeta+c_1$$
$$\frac{d\phi}{d\zeta}=\frac{e^{-\phi}}{2}\zeta+c_1$$
para obtener $c_1$: $$\frac{d\phi}{d\zeta}|_0=\frac{e^{-\phi(0)}}{2}\zeta+c_1$$ $$0=\frac{e^{0}}{2}\zeta+c_1$$ por lo tanto $c_1=-.5\zeta$
$$\frac{d\phi}{d\zeta}=\frac{1}{2}\zeta({e^{-\phi}}-1)$$
$$\frac{d\phi}{({e^{-\phi}}-1)}=\frac{1}{2}\zeta d\zeta$$
dejando $u\equiv e^{-\phi}-1,du\equiv -d\phi e^{-\phi}\rightarrow du\equiv -d\phi (1+u)$. por lo tanto esto se convierte en $$\int-\frac{du}{(1+u)u}=\int\frac{1}{2}\zeta d\zeta$$
Yo uso el parcial fracción método para engendrar la LHS, en una forma tratable, y la integración de esta ecuación me sale lo siguiente:
$$-ln(1-e^{\phi})+ln(1-e^{\phi(0)})=\frac{\zeta^2}{4}+c_3$$
$$-ln(1-e^{\phi})-\infty=\frac{\zeta^2}{4}+c_3$$
$$-ln(1-e^{\phi(0)})-\infty=\frac{\zeta^2}{4}+c_3$$
$$\infty-\infty=\frac{\zeta^2}{4}+c_3$$ por lo $c_3$ es supuestamente $-\zeta^2/4$.
Esto es problemático, porque entonces tengo que $\rho/\rho_0=0$. Lo que puede llevar a la perdición?
