Mostrando que el campo generado por los elementos$e^{2\pi i/n} (n=1,2,...)$ es algebraico sobre$\mathbb{Q}$

Question

Deje $K$ a ser el campo generado por los elementos de a $e^{2\pi i/n} (n=1,2,...)$. Mostrar que $K$ es una extensión algebraica de $\mathbb{Q}$, pero que $[K:\mathbb{Q}]$ no es finito.

Sugerencia: puede ayudar a demostrar que el polinomio mínimo de a $e^{2\pi i/p}$ $p$ prime es $x^{p-1}+x^{p-2}+...+1$.

Me he dado cuenta de que cualquier término de $\alpha\in K$ debe ser una combinación lineal de términos $c_ke^{2\pi i\frac{m_k}{n_k}}$ donde$c_k\in\mathbb{Q}$$m_k,n_k\in\mathbb{Z}$. Y que cualquier término en el $n_k$ está compuesto puede ser dividido en números primos. Y que por un plazo $e^{2\pi i/p}$ podemos encontrar un polinomio en $\mathbb{Q}$ cuando es una raíz. Pero no veo cómo hacerlo cuando usted tiene combinación lineal de términos con diferentes números primos y los diferentes coeficientes. Cualquier ayuda en esto?

Tan lejos como no finitness, supongo que viene de ahí sido infinito de los números primos, y por lo tanto infinitamente muchos linealmente independientes, elementos $e^{2\pi i/p}$.

Answer 1

PS

Por otro lado, para cualquier prima$$\forall\,n\in\Bbb N\;,\;\;e^{2\pi i/n}\;\;\text{is algebraic, and since an extension by algebraic elements is algebraic...}$, el polinomio mínimo de$\;p\;$ sobre los racionales es$\;e^{2\pi i/p}\;$, por lo que la extensión debe ser al menos de orden$\;x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1\;$ para cualquier prima $\;p\;$ ...

Answer 2

Cada$e^{2\pi i/n}$ es algebraico ya que es una raíz de$X^n-1$ (aunque este no es necesariamente el polinomio mínimo ). El elemento general de$K$ se encuentra alrady en algunos$\mathbb Q[e^{2\pi i/2},e^{2\pi i/3},\ldots ,e^{2\pi i/n}]$ y, por lo tanto, en$\mathbb Q[e^{2\pi i/n!}]$, es decir, cada elemento de$K$ es algebraico.

Supongamos que$d=[K:\mathbb Q]$ fuera finito. luego$[\mathbb Q[e^{2\pi i/p}:\mathbb Q]=p-1>d$ para una prima suficientemente grande$p$, contardiction!