Recurrencia de Fibonaaci

Question

Esta es una pregunta interesante en la que estamos tratando de resolver otra recursión que tiene la misma estructura de árbol que la recursión dada y también tiene similitudes de términos

Datos en cuestión

1. $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ , donde $F_1=F_2=1$ tenemos $F_n= \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}$ y la función generadora $g(x)= \sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n=\frac{x}{1-x-x^2}$
2. Puede encontrar más detalles sobre la recursión de Fibonacci y sus propiedades aquí ¡! .

Pregunta

¿Podemos encontrar una solución para a) $Q_n$ (en términos de n) b) $g(x)= \sum_{n=0}^{\infty}Q_nx^n$ para la recursión dada a continuación $nQ_n=Q_{n-1}+Q_{n-2}\tag 3$ $Q_1=Q_2=1$ ¿con los resultados anteriores, dado que ambos siguen el mismo árbol de recursión (en estructura) aunque los resultados sean diferentes? si es así, por favor, responda

NB :: Este no es un problema de trabajo en casa. La lógica es simple, la variación de n hará que sea difícil. Y ningún profesor lo dará como trabajo para casa. Lo he intentado durante semanas/meses No es simple. El intento de un problema similar por mí se puede encontrar aquí

NB :: Conozco un método para utilizar la ODE. Pero estoy tratando de resolverlo sin ODE para que pueda ampliar esto a una dimensión más alta como matrices en preguntas de estructura similar. Por favor, evite la solución ODE

Answer 1

G'(x) = 1 + 2x + (1+x)g(x)

No voy a dar la derivación en caso de que esto sea una pregunta de tarea, pero debería ser fácil de resolver.

Una vez que lo consigas, podrás resolver esta integral con las técnicas habituales. Prueba con wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=g%27%28x%29+%3D+1+%2B+2x+%2B+%281%2Bx%29g%28x%29

Ahora para conseguir $Q_n$ comparar los coeficientes de x.

Answer 2

Cálculo de la $Q_n$ para $n=0\ldots 11$ da,

$n!Q_n = A_n$ con $\{A_n\}_{n\in\mathbb N_0} = \{1,1,2,4,10,26,76,232,764,2620,9496,35696,\ldots\}$

al menos los comentarios sobre

http://www.oeis.org

debería darle algunas pistas para las respectivas secuencias coincidentes.