Polinomio intersectando el exponencial.

Question

Dado un polinomio real$p(x)$ de grado$n$ tal que$p$ y todos sus derivados no son negativos en algún intervalo abierto$I$, ¿cuántas veces puede$p$ intersectar el Función exponencial (en$I$)? En particular, ¿pueden cruzarse más de dos veces?

Answer 1

Sí, pueden cruzarse más de dos veces.

El polinomio$p(x) = \frac{1}{2}(x^2+x)+1$ y todos sus derivados no son negativos en el intervalo$(- \frac{1}{2}, \infty)$, y aún así,$p(x)$ intersecta la función$2^x$ en al menos tres puntos:$0$,$1$ y$2$.

Si$2^x$ no puede considerarse como la función exponencial, entonces podemos modificar el ejemplo anterior de la siguiente manera. Defina$q(x) = p(\frac{x}{\ln 2})$ y considere el intervalo$(- \frac12 \ln 2, \infty)$. Luego$q(x)$ se interseca con$\mathrm{e}^x$ en los puntos$0$,$\ln 2$ y$2 \ln 2$.

Answer 2

Pueden intersecar al menos$n+1$ veces. Considere el polinomio de grado$n$ que interpola valores$y_j =e^{-aj}$ en$x_j = -aj$,$j = 0 \ldots n$:$$ p(x) = \sum_{j=0}^n e^{-aj} \prod_{i \ne j} \frac{x + a i}{-a j + a i} $ $ El$j = 0$ term es$\prod_{i=1}^n (x + a i)/(a i)$ que tiene todos sus coeficientes positivos, y el factor$e^{-aj}$ para todos los demás$j$ implica que si$a$ es suficientemente grande, todos los coeficientes de$p(x)$ son positivos, entonces$p(x)$ y todos sus derivados son positivos para$x > 0$.

Answer 3

Deje $T_n(x) = \sum_{k=0}^n x^n/n!$ ser el polinomio de Maclaurin de grado $n$$e^x$. Entonces $Q_n(x) = T_{n-1}(x) + (e - T_{n-1}(1)) x^n$ ha $Q_n(1) = e$, $Q_n(x) - e^x = O(x^n)$ como $x \to 0$, e $Q_n(x)$ y todos sus derivados son positivos en $x=0$ (y por lo tanto para todos los $x \ge 0$). Deje $P_{n,\delta}(x)$ ser el de la interpolación de Lagrange polinomio para $e^x$ a $n+1$ puntos $j \delta$, $j = 1 \ldots n$ y $1$ donde $\delta > 0$. Como $\delta \to 0$, $P_{n,\delta}(x)$ converge a $Q_n(x)$ y sus derivados convergen a los correspondientes derivados de $Q_n(x)$. En particular, si $\delta > 0$ es lo suficientemente pequeño, $P_{n,\delta}$ y todos sus derivados son positivos en $x=0$ (y por tanto, para $x \ge 0$) y la intersección con la función exponencial en $n+1$ puntos distintos en $(0, \infty)$.